专题24.8 正多边形与圆【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.8 正多边形与圆【十大题型】
【人教版】
【题型 1 正多边形与圆中求角度】....................................................................................................................... 1
【题型 2 正多边形与圆中求线段长度】............................................................................................................... 5
【题型 3 正多边形与圆中求半径】....................................................................................................................... 8
【题型 4 正多边形与圆中求面积】..................................................................................................................... 11
【题型 5 正多边形与圆中求周长】..................................................................................................................... 14
【题型 6 确定正多边形的边数】......................................................................................................................... 16
【题型 7 正多边形与圆中的实际应用】............................................................................................................. 19
【题型 8 正多边形与圆中的规律问题】............................................................................................................. 23
【题型 9 正多边形与圆中求最值】..................................................................................................................... 27
【题型 10 正多边形与圆中的证明】.................................................................................................................... 32
【知识点 1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
为边数； 为边心距； 为半径； 为边长
（2）正多边形每个内角度数为 ，每个外角度数为
【题型 1 正多边形与圆中求角度】
【例 1】（2022 春•株洲期末）如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是⊙O的内接多边形，则
∠BOM 的度数是（　　）
B
A
O
A．36° B．45° C．48° D．60°
【分析】如图，连接 AO．利用正多边形的性质求出∠AOM，∠AOB，可得结论．
【解答】解：如图，连接 AO．
∵△AMN 是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE 是正五边形，
∴∠AOB
¿360°
5=¿
72°，
∴∠BOM＝120° 72°﹣ ＝48°．
故选：C．
【变式 1-1】（2022•长春一模）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，点 M在
^
AF
上，则∠CMD 的大小为
（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【分析】由正六边形的性质得出∠COD＝60°，由圆周角定理求出∠CMD＝30°．
【解答】解：连接 OC，OD，
∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CMD
COD＝30°，
故选：C．
【变式 1-2】（2022 春•福州期中）如图，在正五边形 ABCDE 中，连结 AC，以点 A为圆心，AB 为半径画
圆弧交 AC 于点 F，连接 DF．则∠FDC 的度数是 　 36° 　 ．
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为 108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝
∠DCA＝72°，进而可得四边形 AEDF 是平行四边形，求出∠DFC 的度数，再根据三角形的内角和定理
求出答案即可．
【解答】解：∵正五边形 ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB
¿(5−2)×180 °
5=¿
108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC
¿180°−108°
2=¿
36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108° 36°﹣ ＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
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