专题24.7 圆周角（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.7 圆周角（知识讲解）

【学习目标】

1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

【要点梳理】

1. 圆周角定义：

　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB 这样的角，它们的顶点在

圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

特别说明：

　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内

角的对角）．

【典型例题】

类型一、圆周角概念

1．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．

【答案】120

【分析】连结 OB，可知△OAB 和△OBC 都是等腰三角形，∠ABC= A+ C= AOC∠ ∠ ∠ ，四

边形内角和 360゜，可求∠B．

解：如图，连结 OB，

∵OA=OB=OC，

∴△OAB 和△OBC 都是等腰三角形，

∴∠A= OBA∠，∠C= OBC∠，

∴∠ABC= OBA+ OBC= A+ C∠ ∠ ∠ ∠ ，

∴∠A+ C= ABC= AOC∠ ∠ ∠

∵∠A+ ABC+ C+ AOC=360∠ ∠ ∠ ゜

∴3 ABC=360∠゜

∴∠ABC=120゜

即∠B=120゜．

故答案为：120．

【点拨】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为

解∠B的方程是关键．

举一反三：

【变式 1】如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分

别是_____________．

【答案】6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE

【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.

解：根据题意可知图中共有 6个圆周角，分别是

∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.

故答案为 6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.

【点拨】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

【变式 2】顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．（______）

【答案】正确

【分析】根据圆周角的概念进行判断即可得解.

解：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角是圆周角．

故答案为：正确.

【点拨】此题主要考查了圆周角的概念，正确理解概念是解此题的关键.

【变式 3】在半径为 1的⊙O中，弦 AB、AC 分别是和，则∠BAC 的度数是____

____.

【答案】15°或75°

【解析】试题解析：如图，

作OM AB⊥，ON AC⊥；由垂径定理，可得 AM= AB，AN= AC，

∵弦 AB、AC 分别是、，

∴AM= ，AN= ；

∵半径为 1 OA=1∴；

∵

∴∠OAM=45°；

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