专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 519.04KB 32 页 3知币

专题 24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】

【人教版】

【题型 1 利用切线长定理求周长】....................................................................................................................... 1

【题型 2 三角形内切圆中求角度】....................................................................................................................... 5

【题型 3 三角形内切圆中求面积】....................................................................................................................... 9

【题型 4 三角形内切圆中求线段长度】............................................................................................................. 13

【题型 5 三角形内切圆中求半径】..................................................................................................................... 16

【题型 6 三角形内切圆中求最值】..................................................................................................................... 20

【题型 7 外接圆和内切圆的综合运用】............................................................................................................. 25

【知识点 1 切线长定理及三角形的内切圆】

（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

（2）三角形内切圆

三角形内切圆

与三角形各边都

相切的圆叫做三

角形的内切圆

内切圆的圆心是

三角形三个内角

的角平分线的交

点，叫做三角形

的内心

三角形的内心到

三角形三边的距

离相等

【题型 1 利用切线长定理求周长】

【例 1】（2022 秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点 D是其

中的一个切点，

已知 AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线 MN 剪下一块三角形（△AMN），则

剪下的△AMN 的周长为　 20 cm 　．

【分析】利用切线长定理得出 DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．

【解答】解：∵△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点 D是其中的一个切点，AD＝

10cm，

∴设 E、F分别是⊙O的切点，

故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，

∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．

故答案是：20cm．

【变式 1-1】（2022 秋•莒南县期末）如图，PA、PB 切⊙O于A、B两点，CD 切⊙O于点 E，分别交

PA、PB 于点 C、D．若 PA、PB 的长是关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+m1﹣ ＝0的两个根，求△PCD 的

周长．

【分析】由 PA、PB 切⊙O于A、B两点，CD 切⊙O于点 E，根据切线长定理，可得 PA＝PB，又由

PA、PB 的长是关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+m1﹣ ＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得 PA 与

PB 的长，又由 CD 切⊙O于点 E，即可得△PCD 的周长等于 PA+PB．

【解答】解：∵PA、PB 的长是关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+m1﹣ ＝0的两个根，

∴PA+PB＝m，PA•PB＝m1﹣ ，

∵PA、PB 切⊙O于A、B两点，

∴PA＝PB

¿m

，

即

•

2=¿

m1﹣ ，

即m24﹣m+4＝0，

解得：m＝2，

∴PA＝PB＝1，

∵PA、PB 切⊙O于A、B两点，CD 切⊙O于点 E，

∴AD＝ED，BC＝EC，

∴△PCD 的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．

【变式 1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC 的三边相切于

点D、E、F，若⊙O的半径为 2，则△ABC 的周长为（　　）

A．14 B．20 C．24 D．30

【分析】设 AD＝x，由切线长定理得 AE＝x，根据题意可得四边形 OECF 为正方形，则 CE＝CF＝

2，BD＝BF＝3，在直角三角形 ABC 中，利用勾股定理求出 x，然后求其周长．

【解答】解：连接 OE、OF，设 AD＝x，由切线长定理得 AE＝x，

∵⊙O与Rt△ABC 的三边分别点 D、E、F，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，

∴四边形 OECF 为正方形，

∵⊙O的半径为 2，BC＝5，

∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，

∴在 Rt△ABC 中，

∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，

解得 x＝10，

∴△ABC 的周长为 12+5+13＝30．

故选：D．

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