专题24.5 弧、弦、圆心角（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.5 弧、弦、圆心角（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解圆心角的概念；

2. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就

可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．

【要点梳理】

1.圆心角定义

　　如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

特别说明：

　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间

只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心

距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

【典型例题】

类型一、用弧、弦、圆心角关系求解

1．如图，在⊙O中，，AD OC⊥于D．求证：AB=2AD．

【分析】延长 AD 交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论.

解：延长 AD 交⊙O于E，

∵OC AD⊥，

∴ ，AE=2AD，

∵ ，

∴ ，

∴AB=AE，

∴AB=2AD．

【点拨】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题

的关键.

举一反三：

【变式 1】如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O的一条弦，且 CD AB⊥于点 E．

（1）求证：∠BCO= D∠；

（2）若 CD= ，AE=2，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】试题分析：根据 OC=OB 得到∠BCO= B∠，根据弧相等得到∠B= D∠，从而得到

答案；根据题意得出 CE 的长度，设半径为 r，则 OC=r，OE=r－2，根据 Rt OCE△的勾股定

理得出半径．

（1）证明：∵ OC=OB，∴ ∠BCO= B ∠ ∵ ， ∴ ∠B= D∠， ∴

∠BCO= D∠．

（2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD AB⊥， ∴ CE= ．

在Rt OCE△中，OC2=CE2+OE2，设⊙O的半径为 r，则 OC=r，OE=OA－AE=r－2，

∴ ，解得：r=3， ∴⊙O的半径为 3

考点：圆的基本性质

【变式 2】如图，D、E分别是⊙O两条半径 OA、OB 的中点，．

（1）求证：CD=CE．

（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形 ODCE 的面积为 y，求 y与x的函数关系式．

【分析】

（1）连接 OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA= COB∠，证明

△COD COE≌△ ，根据全等三角形的性质证明；

（2）连接 AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC 为等边三角形，根据正切的定义求

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