专题24.4 圆周角定理【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型 1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】.......................................................................2
【题型 2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】...................................................................................................5
【题型 3 直径所对的圆周角是 90°的运用】.............................................................................................................9
【题型 4 翻折中的圆周角的运用】..........................................................................................................................13
【题型 5 利用圆周角求最值】..................................................................................................................................18
【题型 6 圆周角中的证明】......................................................................................................................................22
【题型 7 圆周角中的多结论问题】..........................................................................................................................28
【题型 8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.............................................................................32
【题型 9 圆周角与量角器的综合运用】..................................................................................................................37
【题型 10 利用圆周角求取值范围】.........................................................................................................................40
【知识点 1 圆周角定理及其推论】
圆
周
角
定
理
定理：圆周角的度数等于它
所对的弧的圆心角度
数的一半
是 所对的圆心角，
是 所对的圆周角，
推论 1：同弧或等弧所对的圆
周角相等
和 都是 所对的圆周
角
C
B
A
O
D
C
B
A
O
推论 2：直径所对的圆周角是
直 角 ， 的 圆 周
角所对的弦是直径
是 的直径
是 所对的圆周角
是 所对的圆周角
是 的直径
【题型 1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】
【例 1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD 是⊙O的直径，⊙O上的两点 A，B分别在直径 CD 的两侧，
且∠ABC＝78°，则∠AOD 的度数为（　　）
A．12° B．22° C．24° D．44°
【分析】利用圆周角定理求出∠AOC＝156°，可得结论．
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，
∴∠AOC＝156°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故选：C．
【变式 1-1】（2022•温州）如图，AB，AC 是⊙O的两条弦，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，连结
OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC 的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【分析】根据四 边形 的内 角和 等于 360° 计算可得∠BAC ＝50° ，再 根据圆 周角定 理得到 ∠ BOC＝
2∠BAC，进而可以得到答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
A
O
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360° 90° 90° 130°﹣ ﹣ ﹣ ＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
【变式 1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点 A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（　　）
A．100° B．70° C．55° D．65°
【分析】根据圆周角定理得出∠ BOC＝2 1∠＝80°，根据三角形内角和定理得出∠ 1+∠B+∠ADB＝
180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，求出∠1+∠B＝∠BOC+∠C即可．
【解答】解：设 OB 交AC 于D，
∵∠1＝40°，
∴∠BOC＝2 1∠＝80°，
∵∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，∠ADB＝∠ODC，
∴∠1+∠B＝∠BOC+∠C，
∵∠C＝25°，
∴40°+∠B＝80°+25°，
∴∠B＝65°，
故选：D．
【变式 1-3】（2022 春•汉阳区校级月考）如图， AB，CD 为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝
2，CD＝4，则⊙O的半径为（　　）
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