专题24.3 垂直于弦的直径（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.3 垂直于弦的直径（知识讲解）

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

特别说明：

　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

特别说明：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所

对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、

平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】

类型一、利用垂径定理求值

1．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．

（1）若，求的度数．

（2）若，，求的长．

【答案】（1）；（2）8

【分析】

（1）根据垂径定理可得，然后根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论；

（2）设半径是，根据垂径定理即可求出 AE，根据勾股定理列出方程即可求出 r，从而求

出结论．

解：（1）∵ ，

∴ ，

∴ ．

（2）设半径是，则，

∴ ，

在直角中，，

则，

解得，

则．

【点拨】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握结合垂径定理和勾股定理求解是解题关

键．

举一反三：

【变式 1】如图，在⊙O中，半径 OC⊥弦AB，垂足为点 D，AB＝6，CD＝1．求⊙O半

径的长．

【答案】r=5

【分析】垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，据此解得 AD

的长，再设半径为 r，由勾股定理解题即可．

解：半径 OC⊥弦AB，

由垂径定理得，

，

设，则

在中，由勾股定理得，

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