专题24.3 垂径定理【十大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.3 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型 1 利用垂径定理求线段长度】........................................................................................................................1
【题型 2 利用垂径定理求角度】................................................................................................................................5
【题型 3 利用垂径定理求最值】................................................................................................................................9
【题型 4 利用垂径定理求取值范围】......................................................................................................................13
【题型 5 利用垂径定理求整点】..............................................................................................................................18
【题型 6 利用垂径定理求面积】..............................................................................................................................22
【题型 7 垂径定理在格点中的运用】......................................................................................................................26
【题型 9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】.....................................................................................................33
【题型 10 垂径定理的应用】.....................................................................................................................................37
【知识点 1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型 1 利用垂径定理求线段长度】
【例 1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径 OD⊥弦AB 交AB 于点 C，连接 AO 并延长交⊙O于点
E，连接 EC．若 AB＝8，EC＝2
❑
√
13
，则 CD 的长为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【变式 1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆 O的半径为 10，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16，
则OP 的长为（　　）
A．6 B．
6❑
√
2
C．8 D．
8❑
√
2
【变式 1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，若 AE＝5，EB＝1，∠AEC
＝30°，则 CD 的长为（　　）
A．5 B．2
❑
√
3
C．4
❑
√
2
D．
2❑
√
2+❑
√
3+1
【变式 1-3】（2022 春•徐汇区校级期中）如图，AB 是⊙O的弦，D为半径 OA 的中点，过 D作CD⊥OA
交弦 AB 于点 E，且 CE＝CB，若 BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 ．
【题型 2 利用垂径定理求角度】
【例 2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径 OA，OB，且 OA⊥OB，连接 AB．现在⊙O上找一点 C，使
OA2+AB2＝BC2，则∠OAC 的度数为（　　）
A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°
【变式 2-1】（2022 秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径 OA＝4，点 B为圆上的一点，点 C为劣弧
^
AB
上
的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接 DE，要使 DE 取得最大值，则∠AOB 等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【变式 2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径 OC 过弦 AB 的中点 E，OC＝2，OE
¿❑
√
2
．
（1）求弦 AB 的长；
（2）求∠CAB 的度数．
【变式 2-3】（2022 秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦 BC 与半径 OA 垂直于点 D，连接 AB、AC．点 E
为AC 的中点，连接 DE．
（1）若 AB＝6，求 DE 的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE 的度数．
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