专题24.3 垂径定理【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.3 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型 1 利用垂径定理求线段长度】........................................................................................................................1
【题型 2 利用垂径定理求角度】................................................................................................................................5
【题型 3 利用垂径定理求最值】................................................................................................................................9
【题型 4 利用垂径定理求取值范围】......................................................................................................................13
【题型 5 利用垂径定理求整点】..............................................................................................................................18
【题型 6 利用垂径定理求面积】..............................................................................................................................22
【题型 7 垂径定理在格点中的运用】......................................................................................................................26
【题型 9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】.....................................................................................................33
【题型 10 垂径定理的应用】.....................................................................................................................................37
【知识点 1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型 1 利用垂径定理求线段长度】
【例 1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径 OD⊥弦AB 交AB 于点 C，连接 AO 并延长交⊙O于点
E，连接 EC．若 AB＝8，EC＝2
❑
√
13
，则 CD 的长为（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【分析】由垂径定理得出 AC＝BC＝4，连接 BE，由∠CBE＝90°及CE 长度求出 BE＝6，在 Rt△ABE 中
求出 AE＝10，从而得出半径 OA＝OD＝5，再在 Rt△AOC 中求出 OC，从而得出答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
如图，连接 BE，
∵AE 是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵CE＝2
❑
√
13
，
∴BE
¿❑
√
C E2−B C2=❑
√
¿¿
6，
则AE
¿❑
√
A B2+B E 2=❑
√
82+62=¿
10，
∴AO＝OD＝5，
在Rt△AOC 中，OC
¿❑
√
A O2−A C 2=❑
√
52−42=¿
3，
则CD＝OD﹣OC＝2，
故选：C．
【变式 1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆 O的半径为 10，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16，
则OP 的长为（　　）
A．6 B．
6❑
√
2
C．8 D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得 OP 的长，本题得以解决．
【解答】解：作 OE⊥AB 交AB 与点 E，作 OF⊥CD 交CD 于点 F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆 O的半径为 10，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形 OEPF 是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP
¿❑
√
62+62=6❑
√
2
，
故选：B．
【变式 1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，若 AE＝5，EB＝1，∠AEC
＝30°，则 CD 的长为（　　）
A．5 B．2
❑
√
3
C．4
❑
√
2
D．
2❑
√
2+❑
√
3+1
【分析】因为∠AED＝30°，可过点 O作OF⊥CD 于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为 3，进而
求得 OE＝3 1﹣ ＝2，根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出 OF
¿1
2
OE＝1，再根据勾股定理求
得DF 的长，然后由垂径定理求出 CD 的长．
【解答】解：过点 O作OF⊥CD 于F，连接 DO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为 3，
∴OE＝3 1﹣ ＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
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