专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】
【人教版】
【题型 1 圆心角、弧、弦的概念】....................................................................................................................... 1
【题型 2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】.................................................................................................... 4
【题型 3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】............................................................................................ 6
【题型 4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】.................................................................................................... 9
【题型 5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】.................................................................................................. 12
【题型 6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】.......................................................................................... 16
【题型 7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】.............................................................................................. 19
【题型 8 圆心角、弧、弦中的证明问题】......................................................................................................... 22
【题型 9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】..................................................................................................... 25
【知识点 1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【题型 1 圆心角、弧、弦的概念】
【例 1】（2022 秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
【变式 1-1】（2022 秋•长沙县期末）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是
（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．
^
AB=
^
AD
D．∠BCA＝∠DCA
【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到
^
BC=
^
CD
，根据圆心角、弧、弦的关系得到 BC＝CD．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，
∴
^
BC=
^
CD
，
∴BC＝CD，
故选：B．
【变式 1-2】（2022 秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，
^
AB=
^
CD
，则下列结论中：① AB＝CD；
②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④
^
AC=
^
BD
，正确的是 　①②③④　（填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O中，
^
AB=
^
CD
，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC 为公共弧，
∴
故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【变式 1-3 】（2022 秋•武汉期末）如图，⊙O中，弦 AB⊥CD ，垂足为 E，F为
^
CBD
的中点，连接
AF、BF、AC，AF 交CD 于M，过 F作FH⊥AC，垂足为 G，以下结论：①
^
CF =
^
DF
；② HC＝BF：
③MF＝FC：④
^
DF +
^
AH =
^
BF +
^
AF
，其中成立的个数是（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为
^
CBD
的中点，
∴
^
CF =
^
DF
，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴
^
CH =
^
BF
，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴
^
AH
的度数
+
^
CF
的度数＝180°，
∴
^
CH
的度数
+
^
AF
的度数＝180°，
∴
^
AH +
^
CF =
^
AH +
^
DF=
^
CH +
^
AF =
^
AF +
^
BF
，故④正确，
故选：C．
专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）.docx

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