专题24.1 圆的基本概念和性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 24.1 圆的基本概念和性质（知识讲解）

【学习目标】

1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过

程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等

弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1. 圆的定义

(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O

旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的

端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O为圆心的圆，记作

“⊙O”，读作“圆 O”．

特别说明：

　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，

二者缺一不可；

　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.

特别说明：

　 ①定点为圆心，定长为半径；

　　②圆指的是圆周，而不是圆面；

　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长

的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质

　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中

心对称图形，对称中心是圆心；

　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何

一条直线都是圆的对称轴.

特别说明：

　　①圆有无数条对称轴；

　 ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径” ，

而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.

要点二、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

特别说明：

　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O的直径，CD 是⊙O中任意一条弦，求

证：AB≥CD.

　　证明：连结 OC、OD　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当 CD 过圆心 O时，取“=”号)

　　　　∴直径 AB 是⊙O中最长的弦.

2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧

AB”或“弧 AB”.

　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

特别说明：

　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.

3.同心圆与等圆

　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

特别说明：

　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

② 圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的基本概念

1．已知：如图，圆 O是△ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC．

（1）求证：△ABC 是等腰三角形；

（2）当 OA＝4，AB＝6，求边 BC 的长．

【答案】（1）见解析；（2）3

【分析】

（1）连接 OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC 得

AB＝AC，问题得证；

（2）延长 AO 交BC 于点 H，先证明 AH⊥BC，BH＝CH，设 OH＝b，BH＝CH＝a，根据

OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出 a、b的方程组，解得 a、b，便可得 BC．

解：（1）连接 OB、OC，

∵OA＝OB＝OC，OA 平分∠BAC，

∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，

在△OAB 和△OAC 中，

，

∴△OAB OAC≌△ （AAS），

∴AB＝AC

即△ABC 是等腰三角形；

（2）延长 AO 交BC 于点 H，

∵AH 平分∠BAC，AB＝AC，

∴AH BC⊥，BH＝CH，

设OH＝b，BH＝CH＝a，

∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，

则　①

BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，

则　②

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