专题24.1 圆【七大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 24.1 圆【七大题型】
【人教版】
【题型 1 圆的概念】....................................................................................................................................................1
【题型 2 圆的有关概念】............................................................................................................................................4
【题型 3 确定圆的条件】............................................................................................................................................6
【题型 4 点与圆的位置关系】....................................................................................................................................9
【题型 5 圆中角度的计算】......................................................................................................................................12
【题型 6 圆中线段长度的计算】..............................................................................................................................15
【题型 7 圆相关概念的应用】..................................................................................................................................18
【知识点 1 圆的概念】
定义①：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O叫做圆心，线段 OA 叫做半径．以 O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点 O的距离等于定长 r的点的集合．
【题型 1 圆的概念】
【例 1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（　　）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．
【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确；
故选：C．
【变式 1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点 O的距离大于或等于 2，并且小于或等于 3的点组
成的图形的面积为（　　）
A．4π B．9π C．5π D．13π
【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．
【解答】解：由所有到已知点 O的距离大于或等于 2，并且小于或等于 3的点组成的图形的面积为以 3
为半径的圆与以 2为半径的圆组成的圆环的面积，
即π×32π×2﹣2＝5π，
故选：C．
【变式 1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的
半径，现将两个圆的周长都增加 1米，则面积增加较多的圆是（　　）
A．⊙O1
B．⊙O2
C．两圆增加的面积是相同的
D．无法确定
【分析】先由 L＝2πR计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小
即可．
【解答】解：设⊙O1的半径等于 R，变大后的半径等于 R′；⊙O2的半径等于 r，变大后的半径等于 r′，
其中 R＞r．
由题意得，2πR+1＝2πR′，2πr+1＝2πr′，
解得 R′＝R
+1
2π
，r′＝r
+1
2π
；
所以 R′﹣R
¿1
2π
，r′﹣r
¿1
2π
，
所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长
1
2π
．
∴⊙O1的面积＝πR2，变大后的面积
¿π¿
，面积增加了
π¿
πR2＝R
，
⊙O2的面积＝πr2，变大后的面积
¿π¿
，面积增加了
π¿
r
+1
4π
，
∵R＞r，
∴R
+1
4π＞
r
+1
4π
，
∴⊙O1的面积增加的多．
故选：A．
【变式 1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O的直径，把 AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别
画小圆，设 AB＝a，那么⊙O的周长 l＝πa．
计算：（1）把 AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长
l2=1
2πa=1
2l
；
（2）把 AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长 l3＝　
1
3
l 　 ；
（3）把 AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长 l4＝　
1
4
l 　 ；
（4）把 AB 分成 n条相等的线段，每个小圆的周长 ln＝　
1
n
l 　 ．
结论：把大圆的直径分成 n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周
长的　
1
n
　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【分析】把大圆的直径分成 n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是 ln＝
π（
1
n
a）
¿1
n
l，即每个小圆周长是大圆周长的
1
n
；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积
后比较．
【解答】解：（2）
1
3
l；
（3）
1
4
l；
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