专题23.7 《旋转》中的半角模型（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 23.7 《旋转》中的半角模型（知识讲解）

1）半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半

2）思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化

3）基本模型

（1）正方形含半角

图 1 图2

【变式 1】（探索发现）如图①，四边形 ABCD 是正方形，M，N分别在边

CD、BC 上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半

角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点 A顺时针旋

转，点 D与点 B重合，得到，连接 AM、AN、MN．

（1）试判断 DM，BN，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．

（2）如图②，点 M、N分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 的延长线上，

，连接 MN，请写出 MN、DM、BN 之间的数量关系，并写出证明

过程．

（3）如图③，在四边形 ABCD 中，AB=AD，，，

点N，M分别在边 BC，CD 上，，请直接写出线段 BN，DM，MN

之间的数量关系．

【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解

析；（3）．

【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用

SAS 可证，则可得：；

（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用

SAS 可证，则可得：；

（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证 ≌ ，利用

SAS 可证，则可得：；

证明：（1）如图①，∵四边形 ABCD 是正方形

∴AB=AD，=

将绕点 A顺时针旋转，得到

∴ ≌

∴

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