专题23.5 解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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第23 章 解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3分）
1．（3分）（2021 秋•泉州期末）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（　　）
A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤1
【解题思路】根据锐角三角函数的定义表示 sinA+sinB的和，再根据三角形的三边关系得出答案．
【解答过程】解：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 a、b、c，
∴sinA
¿a
c
，sinB
¿b
c
，
∴sinA+sinB
¿a
c+b
c=a+b
c
，
又∵a+b＞c，
∴
a+b
c＞
1，
即sinA+sinB＞1，
故选：B．
2．（3分）（2021•杭州一模）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（　　）
A．
❑
√
5
5
B．
2❑
√
5
5
C．2 D．
❑
√
5
2
【解题思路】先通过勾股定理求出斜边长度，再根据三角函数求解．
【解答过程】解：设 AC 为x，则 BC＝2x，
由勾股定理得 AB
x，
∴sinA
¿BC
AB =2x
❑
√
5x=2❑
√
5
5
．
故选：B．
3．（3分）（2021 秋•江阴市校级月考）如图，A（0，8），B（0，2），点 E为x轴正半轴上一动点，设
tan∠AEB＝m，则 m的取值范围是（　　）
A．0＜m
≤3
4
B．0＜m
≤4
5
C．
1
2＜
m
＜3
4
D．0＜m
≤3
5
【解题思路】点 E为x轴正半轴上一动点，设 tan∠AEB＝m，则 m＞0，再求出 m的最大值即可．过
A、B、E三点的圆 O′与x轴相切时，∠AEB 最大，m的值最大．作 O′D⊥AB 于D，由垂径定理得出 AD
＝DB
¿1
2
AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为 5．在直角△O′AD 中，由勾股定理得出 O′D
¿❑
√
52−32=¿
4， 则 AE
¿❑
√
O A2+O E2=❑
√
82+42=¿
4
❑
√
5
，再作 BC⊥AE 于C． 由 S△AOE
¿1
2
OA•OE ＝
S△BOE+S△ABE，求出 BC
¿6❑
√
5
5
，CE
¿❑
√
20−36
5=8❑
√
5
5
，那么 m的最大值为
BC
CE =
6❑
√
5
5
8❑
√
5
5
=3
4
．
【解答过程】解：如图，过 A、B、E三点的圆 O′与x轴相切时，∠AEB 最大．
方法 1：作 O′D⊥AB 于D，则 AD＝DB
¿1
2
AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为 5．
在直角△O′AD 中，由勾股定理得 O′D
¿❑
√
52−32=¿
4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE
¿❑
√
O A2+O E2=❑
√
82+42=¿
4
❑
√
5
，
作BC⊥AE 于C．
∵S△AOE
¿1
2
OA•OE＝S△BOE+S△ABE，
∴
1
2×
8×4
¿1
2×
2×4
+1
2×
4
❑
√
5×
BC，
∴BC
¿6❑
√
5
5
，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE
¿❑
√
20−36
5=8❑
√
5
5
，
∴m的最大值为
BC
CE =
6❑
√
5
5
8❑
√
5
5
=3
4
，
又∵m＞0，
∴0＜m
≤3
4
．
方法 2：作 O′D⊥AB 于D，则 AD＝DB
¿1
2
AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为 5．
在直角△O′AD 中，由勾股定理得 O′D
¿❑
√
52−32=¿
4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D
¿AD
O' D =3
4
，
∴m的最大值为
3
4
，
又∵m＞0，
∴0＜m
≤3
4
．
故选：A．
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