专题23.3 解直角三角形章末重难点突破（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 23.3 解直角三角形章末重难点突破
【沪科版】
【考点 1锐角三角函数的定义】
【例 1】（2021 秋•包河区期末）如图，BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，BD 与CE 相交于 O，则图中线段的
比不能表示 sinA的式子为（　　）
A．
BD
AB
B．
CD
OC
C．
AE
AD
D．
BE
OB
【解题思路】根据 BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答过程】解：A、∵BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，
∴sinA
¿BD
AB =EC
AC
，故 A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD
¿CD
OC
，故 B不合题意；
C、无法得出 sinA
，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE
¿BE
BO
，故 D不合题意；
故选：C．
【变式 1-1】（2021•吴兴区一模）如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则 tanA的值为
（　　）
A．
3
5
B．
4
3
C．
3
4
D．
4
5
【解题思路】先设 AC＝3x，AB＝5x，则利用勾股定理可计算出 BC＝4x，然后根据正切的定义求解．
【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，
设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC
¿❑
√
A B2−A C2=❑
√
¿¿
4x，
∴tanA
¿BC
AC =4x
3x=4
3
．
故选：B．
【变式 1-2】（2021 秋•商河县校级期末）已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，
正确的是（　　）
A．
sinA=2
3
B．
cosA =2
3
C．
tanA=2
3
D．tanB
¿2
3
【解题思路】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB
¿❑
√
62+42=¿
2
❑
√
13
，
A、sinA
¿BC
AB =3❑
√
13
13
，故此选项错误；
B、cosA
¿AC
AB =2❑
√
13
13
，故此选项错误；
C、tanA
¿BC
AC =3
2
，故此选项错误；
D、tanB
¿AC
BC =2
3
，故此选项正确．
故选：D．
【变式 1-3】（2021•下城区模拟）如图，△ACB 中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则
BD 的长可表示为（　　）
A．a•（cosαcos﹣β）B．
a
tanβ−tanα
C．acosα
−a⋅sinα
tanβ
D．a•cosα﹣asinα•a•tanβ
【解题思路】利用锐角三角函数关系分别表示出 BC，DC 的长进而得出答案．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα
¿BC
AB =BC
a
，
则BC＝a•cosα，
sinB＝sinα
¿AC
AB =AC
a
，
故AC＝a•sinα，
则tanβ
¿AC
DC
，
故DC
¿AC
tanβ =a⋅sinα
tanβ
，
则BD＝BC﹣DC＝a•cosα
−a⋅sinα
tanβ
．
故选：C．
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