专题23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 直角三角形的边角关系】
（1）两锐角关系：
（2）三边关系： （勾股定理）
（3）边角关系： ，
，
【知识点 2 解直角三角形的类型和解法】
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
已知斜边和一个锐角
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型 1 可直接解直角三角形（网格问题）】
【例 1】（2021•碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格
点上，连接 AB、AC，则 sin∠BAC 的值为（　　）
对
边
邻边
斜边
A C
B
b
A．
1
2
B．
❑
√
5
5
C．
2❑
√
5
5
D．
❑
√
5
2
【变式 1-1】（2021•雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都
在交点处，则∠ABC 的正弦值为（　　）
A．
1
2
B．
6❑
√
5
5
C．
3
5
D．
【变式 1-2】（2020 秋•周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正
方形网格的格点上，线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中 cos∠QMB 的值是（　　）
A．
❑
√
5
5
B．
2❑
√
5
5
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
10
5
【变式 1-3】（2021 春•淮南月考）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，求∠BAC 的余弦值．
【题型 2 不可直接解直角三角形（设元、借助方程）】
【例 2】（2021•苍溪县模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA
¿2
3
．若 D是AC 上一点，且∠CBD＝∠A，
则sin∠ABD 的值为（　　）
A．
5
13
B．
8
13
C．
10
39
D．
【变式 2-1】（2021•安徽模拟）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC 边上一动点，
且tan∠ABD
¿1
2
，则 BD 的长度为（　　）
A．
15❑
√
5
8
B．2
❑
√
5
C．5 D．
24❑
√
5
11
【变式 2-2 】（2021• 相城区校级一模）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝CB，sin∠BAD
¿3
5
，∠BCD＝60°，连接 AC，则 tan∠ACD＝　 ．
【变式 2-3 】（2021• 嘉定区三模）如图 6，在△ABC 中，∠C＝90° ，
sin ∠A=3
5
，AB＝5，BD 平分
∠ABC．
（1）求 BC 的长；
（2）求∠CBD 的正切值．
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