专题23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 直角三角形的边角关系】
（1）两锐角关系：
（2）三边关系： （勾股定理）
（3）边角关系： ，
，
【知识点 2 解直角三角形的类型和解法】
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
已知斜边和一个锐角
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型 1 可直接解直角三角形（网格问题）】
【例 1】（2021•碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格
点上，连接 AB、AC，则 sin∠BAC 的值为（　　）
对
边
邻边
斜边
A C
B
b
A．
1
2
B．
❑
√
5
5
C．
2❑
√
5
5
D．
❑
√
5
2
【分析】利用勾股定理的逆定理先判定△ABC 为直角三角形，再利用正弦的定义可求结论．
【解答】解：连接 BC，
∵AC2＝42+22＝20，
AB2＝32+42＝25，
BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠BAC
¿BC
AB =❑
√
5
5
．
故选：B．
【变式 1-1】（2021•雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都
在交点处，则∠ABC 的正弦值为（　　）
A．
1
2
B．
6❑
√
5
5
C．
D．
3❑
√
10
10
【分析】利用网格求出 AC 和AB 的长，根据等腰三角形的性质可得 AD⊥BC，最后根据三角函数的意义
求解即可．
【解答】解：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，
由网格可得，AC＝AB
¿❑
√
42+22=¿
2
❑
√
5
，
∴AD⊥BC，
Rt△ABD 中，
∵AD
¿❑
√
32+32=¿
3
❑
√
2
，
∴sin∠ABC
¿AD
AB =3❑
√
2
2❑
√
5=3❑
√
10
10
．
故选：D．
【变式 1-2】（2020 秋•周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正
方形网格的格点上，线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中 cos∠QMB 的值是（　　）
A．
❑
√
5
5
B．
2❑
√
5
5
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
10
5
【分析】根据题意，作 CQ∥AB，然后利用勾股定理可以得到 PC、CQ、PQ 的长，再根据勾股定理的逆
定理可以判断△PCQ 的形状，从而可以求得 cos∠PQC 的值，然后根据平行线的性质，可以得到∠QMB
＝∠PQC，从而可以得到 cos∠QMB 的值．
【解答】解：作 CQ∥AB，连接 PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为 1，
则CQ
¿❑
√
22+22=¿
2
❑
√
2
，PQ
¿❑
√
62+22=¿
2
❑
√
10
，PC
¿❑
√
42+42=¿
4
❑
√
2
，
∴CQ2+PC2＝（2
❑
√
2
）2+（4
❑
√
2
）2＝8+32＝40＝（2
❑
√
10
）2＝PQ2，
∴△PCQ 是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC
¿CQ
PQ =2❑
√
2
2❑
√
10 =❑
√
5
5
，
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