专题23.1 锐角三角函数-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 23.1 锐角三角函数-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 锐角三角函数】
在 中， ，则 的三角函数为
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦
斜边
的对边A
A
sin
c
a
Asin
1sin0 A
(∠A 为锐角)
BA cossin
BA sincos
1cossin
22
AA
余弦
斜边
的邻边A
A
cos
c
b
Acos
1cos0 A
(∠A 为锐角)
正切
的邻边
的对边
A
tan
A
A
b
a
Atan
(∠A 为锐角)
【知识点 2 特殊角的三角函数值】
三角函数 30° 45° 60°
sin
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tan
3
3
1
3
【题型 1 紧扣定义求三角函数值】
【例 1】（2021 春•萧山区月考）Rt△ABC 在中，若 AB
¿❑
√
3
AC，则 cosB＝　
❑
√
6
3
或
❑
√
3
2
　．
【分析】分 AB 为斜边、AB 为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可．
【解答】解：设 AC＝x，则 AB
¿❑
√
3
x，
当AB 为斜边时，BC
¿❑
√
A B2−A C 2=❑
√
2
x，
则cosB
¿BC
AB =❑
√
2x
❑
√
3x=❑
√
6
3
；
当AB 为直角边时，BC
¿❑
√
A B2+A C2=¿
2x，
则cosB
¿AB
BC =❑
√
3
2
；
综上所述，cosB的值为
❑
√
6
3
或
❑
√
3
2
．
【变式 1-1】（2020•南沙区一模）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝12，tanA
¿12
5
，则 sinB＝　
5
13
．
【分析】根据正切函数，可得 AC，根据勾股定理求得斜边 AB 的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝12，tanA
¿12
5
，得
BC
AC =12
5
，即
12
AC =12
5
，
∴AC＝5．
由勾股定理，得
AB
¿❑
√
A C2+B C2=¿
13．
sinB
¿AC
AB =5
13
，
故答案为：
5
13
．
【变式 1-2】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosB
¿3
5
，求 tanA的值．
【分析】根据互为余角的三角函数关系，可得 sinA，根据正弦等于对边比斜边，可得 BC 与AB 的关系，
根据勾股定理，可得 AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．
【解答】解：由在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosB
¿3
5
，得
sinA＝cosB
¿BC
AB =3
5
，
设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得
AC
¿❑
√
A B2−B C2=¿
4x，
由正切等于对边比邻边，得
tanA
¿BC
AC =3x
4x=3
4
．
【变式 1-3】（ 2020•厦门校级模拟）如图，在正方形 ABCD 中， M是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求
sin∠ECM 的值．
【分析】依题意设 AE＝x，则 BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM 是直角三角形，再
利用三角函数的定义求解．
【解答】解：设 AE＝x，则 BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC
¿❑
√
(3x)2+(4x)2=¿
5x，
EM
¿❑
√
x2+(2x)2=❑
√
5
x，
CM
¿❑
√
(2x)2+(4x)2=¿
2
❑
√
5
x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM 是直角三角形，
∴sin∠ECM
¿EM
CE =❑
√
5
5
．
【题型 2 利用余角转换求三角函数值】
专题23.1 锐角三角函数-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）.docx

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