专题22.19 实际问题与二次函数（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.19 实际问题与二次函数（知识讲解）

【学习目标】

1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意

识．

2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的

数学模型．

【要点梳理】

要点一、列二次函数解应用题

　列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二

次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，

找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是

二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．

(6)写出答案．

特别说明：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、

抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出

相关的函数关系式.

要点二、建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所

求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．

特别说明：

(1) 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利

用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性

质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

　　①首先必须了解二次函数的基本性质；

　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.

　【典型例题】

1．如图，在足够大的空地上有一段长为 a米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩

形菜园 ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏．

（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长；

（2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值．

【答案】（1）D的长为 10m；（2）当a≥50 时，S的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S的最大

值为 50a﹣a2．

【分析】

（1）设AB=xm，则BC=（100 2x﹣）m，利用矩形的面积公式得到 x（100 2x﹣）=450，解方程

求得 x1=5，x2=45，然后计算 100 2x﹣后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长；（2）设

AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100 x﹣），配方得到 S=﹣（x 50﹣）2+1250，根据 a的

取值范围和二次函数的性质分类讨论：当 a≥50 时，根据二次函数的性质得 S的最大值为 1250；

当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a 时，根据二次函数的性质得 S的最大值为 50a﹣a

解：（1）设AB=xm，则BC=（100 2x﹣）m，

根据题意得 x（100 2x﹣）=450，解得 x1=5，x2=45，

当x=5 时，100 2x=90﹣＞20，不合题意舍去；

当x=45 时，100 2x=10﹣，

答：AD 的长为 10m；

（2）设AD=xm，

∴S= x（100 x﹣）=﹣（x 50﹣）2+1250，

当a≥50 时，则x=50 时，S的最大值为 1250；

当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a 时，S随x的增大而增大，当 x=a 时，S的最大值为 50a﹣

a2，

综上所述，当 a≥50 时，S的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S的最大值为 50a﹣a2．

【点拨】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的

性质并结合 a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.

举一反三：

【变式 1】如图，有长为 24m 的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有

一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为xm，面积为 Sm2．

(1)求S与x的函数关系式及 x值的取值范围；

(2)要围成面积为 45m2的花圃，AB 的长是多少米？

(3)当AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？

【答案】（1）S= 3x﹣2+24x，≤x< 8；（2） 5m；（3）46.67m2

【分析】

（1）设花圃宽 AB 为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出 S与x关系式，根

据墙的最大长度求出 x的取值范围；

（2）根据（1）所求的关系式把 S=45 代入即可求出 x，即 AB；

（3）根据二次函数的性质及 x的取值范围求出即可.

解：（1）根据题意，得 S＝x（24 3﹣x），

即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，

又∵0＜24 3﹣x≤10，

∴；

（2）根据题意，设花圃宽 AB 为xm，则长为（24-3x），

∴﹣3x2+24x＝45．

整理，得 x28﹣x+15＝0，

解得 x＝3或5，

当x＝3时，长＝24 9﹣＝15＞10 不成立，

当x＝5时，长＝24 15﹣＝9＜10 成立，

∴AB 长为 5m；

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