专题22.15 二次函数与一元二次方程（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.15 二次函数与一元二次方程（知识讲解 1）
【学习目标】
1. 会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3. 经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的
观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　 　 求 二 次 函 数 (a≠0) 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 ， 就 是 令 y ＝ 0 ， 求
中 x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的
个数决定了抛物线与 x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象 与 x 轴的交点坐标 根的情况
△＞0
抛 物 线 与 x
轴 交 于 ， 两
点，且 ，
此时称抛物线与 x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛 物 线 与 x
一元二次方程
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与 x 轴相切
有 两 个 相 等 的 实 数 根
△＜0
抛 物 线 与 x
轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
　特别说明：
　二次函数图象与 x 轴的交点的个数由 的值来确定的. (1)当二次函数的图象与 x轴有两
个交点时， ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与 x轴有且只有
一个交点时， ，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与 x轴没有交点
时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛
物线 (a≠0)与 y 轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与 y 轴的交点是(0，c)．
抛 物 线 (a≠0) 与 一 次 函 数 (k≠0) 的 交 点 个 数 由 方 程 组
的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
特别说明：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题
或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与 x 轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取
值，用表格的形式求出相应的 y 值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近 0 的 y 值所对应的 x 值即
是一元二次方 的近似根．
特别说明：
　　求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程
的根；
　(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图
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