专题22.10 二次函数y=ax² bx c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.10 二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解
1）
【学习目标】
1. 会 用 描 点 法 画 二 次 函 数
2( 0)y ax bx c a  
的 图 象 ； 会 用 配 方 法 将 二 次 函 数
2
y ax bx c  
的解析式写成
2
( )y a x h k  
的形式；
2. .通过图象能熟练地掌握二次函数
2
y ax bx c  
的性质；
3. .经历探索
2
y ax bx c  
与
2
( )y a x h k  
的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函
数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数
2( 0)y ax bx c a  
与
 
2
( ) ( 0)y a x h k a
之间的相互关系
1. 顶点式化成一般式
从函数解析式
2
( )y a x h k  
我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称
2
( )y a x h k  
为顶点式，将顶点式
2
( )y a x h k  
去括号，合并同类项就可化成一般式
2
y ax bx c  
．
2. 一般式化成顶点式
2 2
2 2 2
2 2
b b b b
y ax bx c a x x c a x x c
a a a a
 
   
   
 
   
   
 
 
．
对照
2
( )y a x h k  
，可知
2
b
ha
 
，
2
4
4
ac b
ka
．
∴ 抛物线
2
y ax bx c  
的对称轴是直线
2
b
xa
 
，顶点坐标是
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
．
特别说明：
1．抛物线
2
y ax bx c  
的对称轴是直线
2
b
xa
 
，顶点坐标是
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
，可
以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线
2
y ax bx c  
的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入
法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数
2( 0)y ax bx c a  
的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出
对称轴．
(2)求抛物线
2
y ax bx c  
与坐标轴的交点，
当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C
关于对称轴的对称点 D，将 A、B、C、D 及 M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
特别说明：
当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D，由
C、M、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对
对称点 A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数
2( 0)y ax bx c a  
的图象与性质
1.二次函数
20( )y ax bx c a  
图象与性质
函数 二次函数
2
y ax bx c  
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0a
0a
开口方向 向上 向下
对称轴
直线
2
b
xa
 
直线
2
b
xa
 
顶点坐标
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
2
4
,
2 4
b ac b
a a
 
 
 
增减性
在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
 
时，y 随 x 的 在对称轴的左侧，即当
2
b
xa
 
时，y
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
增大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
xa
 
时，y 随 x 的增大而增大．简记：左减右增
即 当
2
b
xa
 
时 ， y 随 x 的 增 大 而 减
小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有 最 低 点，当
2
b
xa
 
时，y 有最 小
值，
2
4
4
ac b
ya
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
xa
 
时，y 有
最大值，
2
4
4
ac b
ya
最大值
2.二次函数
20( )y ax bx c a  
图象的特征与 a、b、c 及 b2-4ac 的符号之间的关系
项目
字母 字母的符号 图象的特征
aa＞0 开口向上
a＜0 开口向下
bab＞0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧
c
c=0 图象过原点
c＞0 与 y 轴正半轴相交
c＜0 与 y 轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与 x 轴有两个交点
b2-4ac＜0 与 x 轴没有交点
要点四、求二次函数
2( 0)y ax bx c a  
的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当
2
b
xa
 
时，
2
4
4
ac b
ya
最值
．
特别说明：
如果自变量的取值范围是 x1≤x≤x2，那么首先要看
2
b
a
是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2
内，若在此范围内，则当
2
b
xa
 
时，
2
4
4
ac b
ya
最值
，若不在此范围内，则需要考虑函数在
x1≤x≤x2范围 内 的 增 减 性 ， 如 果 在 此范围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 则当 x ＝x2时 ，
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