专题22.9 相似形章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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第22 章 相似形章末测试卷（拔尖卷）
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3分）
1．（2021 秋•昭平县期中）若 x
¿a
b+c=b
a+c=c
a+b
，则 x等于（　　）
A．﹣1或
1
2
B．﹣1 C．
1
2
D．不能确定
【解题思路】分两种情况讨论：当 a+b+c≠0 时和当 a+b+c＝0时．
【解答过程】解：∵x
¿a
b+c=b
a+c=c
a+b
，
∴当 a+b+c≠0 时，x
¿a+b+c
2(a+b+c)=1
2
；
当a+b+c＝0时，x
¿a
b+c=a
−a=−¿
1，
故选：A．
2．（2021•河北）在如图所示的网格中，以点 O为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（　　）
A．四边形 NPMQ B．四边形 NPMR C．四边形 NHMQ D．四边形 NHMR
【解题思路】由以点 O为位似中心，确定出点 C对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC
¿❑
√
5
，OM ＝2
，OD
¿❑
√
2
，OB
¿❑
√
10
，OA
¿❑
√
13
，OR
¿❑
√
5
，OQ ＝2
❑
√
2
，OP ＝2
❑
√
10
，OH ＝3
❑
√
5
，ON＝2
❑
√
13
，由
OM
OC =¿
2，得点 D对应点 Q，点 B对应点 P，点 A对应点 N，即可得出结果．
【解答过程】解：∵以点 O为位似中心，
∴点 C对应点 M，
设网格中每个小方格的边长为 1，
则OC
¿❑
√
22+12=❑
√
5
，OM
¿❑
√
42+22=¿
2
❑
√
5
，OD
¿❑
√
2
，OB
¿❑
√
32+12=❑
√
10
，OA
¿❑
√
32+22=❑
√
13
，OR
¿❑
√
22+12=❑
√
5
，OQ＝2
❑
√
2
，OP
¿❑
√
62+22=¿
2
❑
√
10
，OH
¿❑
√
62+32=¿
3
❑
√
5
，ON
¿❑
√
62+42=¿
2
❑
√
13
，
∵
OM
OC =2❑
√
5
❑
√
5=¿
2，
∴点 D对应点 Q，点 B对应点 P，点 A对应点 N，
∴以点 O为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ，
故选：A．
3．（2021•玉环市一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价
a，最高销售限价 b（b＞a）
以及实数 x（0＜x＜1）确定实际销售价格 c＝a+x（b﹣a），这里 x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐
观系数 x恰好使得
b−a
c−a=c−a
b−c
，据此可得，最佳乐观系数 x的值等于（　　）
A．
1
2
B．
❑
√
5
4
C．
❑
√
5+1
2
D．
❑
√
5−1
2
【解题思路】根据题设条件，由
b−a
c−a=c−a
b−c
，知[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出
最佳乐观系数 x的值．
【解答过程】解法一：∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），
b−a
c−a=c−a
b−c
，
∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，
∴x2+x1﹣＝0，
解得 x
¿−1±❑
√
5
2
，
∵0＜x＜1，
∴x
¿−1+❑
√
5
2
．
解法二：
由c＝a+x（b﹣a），可得 x
¿c−a
b−a
，
由
b−a
c−a=c−a
b−c
，可得（c﹣a）2＝（b﹣a）（b﹣c），
即（c﹣a）2＝（b﹣a）[（b﹣a）﹣（c﹣a）]，
∴（c﹣a）2＝（b﹣a）2﹣（b﹣a）（c﹣a），
两边同时除以（b﹣a）2可得，
¿
1
−c−a
b−a
，
将x
¿c−a
b−a
代入，可得 x2+x1﹣＝0，
解得 x
¿−1±❑
√
5
2
，
∵0＜x＜1，
∴x
¿−1+❑
√
5
2
．
故选：D．
4．（2021•浙江自主招生）等腰△ABC 中，AB＝AC，E、F分别是 AB、AC 上的点，且 BE＝AF，连接
CE、BF 交于点 P，若
CP
PE =3
4
，则
AE
AF
的值为（　　）
A．
1
2
B．
1
3
C．
❑
√
3−1
2
D．
❑
√
5−1
2
【解题思路】作 ED∥AC 交BF 于D，如图，根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延
长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，设 ED＝4x，BE＝y，则 FC
＝3x，AF＝y，易得 AE＝FC＝3x，再利用 DE∥AF 得到对应边成比例，利用比例的性质和解方程得到 y
＝6x，进而可得结果．
【解答过程】解：作 ED∥AC 交BF 于D，如图，
∵ED∥FC，
∴
ED
EP =EP
PC =4
3
，
设ED＝4x，BE＝y，则 FC＝3x，AF＝y，
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