专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】

【人教版】

【题型 1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】...............................................................................2

【题型 2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】...............................................................................................4

【题型 3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】...................................................................................6

【题型 4 二次函数中求线段最值】..........................................................................................................................10

【题型 5 二次函数中求线段和差最值】..................................................................................................................18

【题型 6 二次函数中求周长最值】..........................................................................................................................32

【题型 7 二次函数中求面积最值】..........................................................................................................................42

【题型 8 二次函数在新定义中求最值】..................................................................................................................52

【知识点 1 二次函数的最值】

1.对于二次函数在上的最值问题（其中 a、b、c、m和n均为定值，表

示y的最大值，表示 y的最小值）：

（1）若自变量 x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．

（2）若，如图②，当，；当，．

（3）若，如图③，当，；当，．

（4）若，，如图④，当，；当，．

x=-

④

③

②

①

2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论

m，n与的大小．

【题型 1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】

【例 1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数 y＝x22﹣x+m．当﹣3≤x≤3 时，则 y的最大值为　　（用

含m的式子表示）．

【变式 1-1】（2022 秋•河西区期末）当 x≥2 时，二次函数 y＝x22﹣x3﹣ 有（　　）

A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4

【变式 1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数 y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数 y的最小值和最大值．小

王的解答过程如下：

解：当 x＝﹣1时，y＝1；

当x＝2时，y＝4；

所以函数 y的最小值为 1，最大值为 4．

小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．

【变式 1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数 y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线 x＝

1．

（1）求 b+c的值．

（2）当﹣4≤x≤3 时，求 y的最大值．

（3）平移抛物线 y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数 y＝2x2﹣x1﹣ 上，求平移后所得抛物线与 y轴

交点纵坐标的最小值．

【题型 2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】

【例 2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数 y＝mx24﹣mx（m为不等于 0的常数），当﹣2≤x≤3 时，函

数y的最小值为﹣2，则 m的值为（　　）

A．±

B．

−1

或

C．

−1

或

D．

或2

【变式 2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于 x的二次函数 y＝x2+2x+2a+3，当 0≤x≤1 时，y的最大值为

10，则 a的值为　　．

【变式 2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数 y＝ax22﹣ax+c，当﹣1≤x≤2 时，y有最小值 7，最大值

11，则 a+c的值为（　　）

A．3 B．9 C．

D．

【变式 2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数 y＝x2+bx+c，当 x＞0时，函数的最小值为﹣3，当 x≤0 时，

函数的最小值为﹣2，则 b的值为（　　）

A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3

【题型 3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】

【例 3】（2022•宁阳县一模）当 0≤x≤m时，函数 y＝﹣x2+4x3﹣ 的最小值为﹣3，最大值为 1，则 m的取值

范围是（　　）

A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2

【变式 3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数 y＝﹣x24﹣x+5，当 m≤x≤m+3 时，求 y的最小值（用含 m

的代数式表示）．

【变式 3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线 y＝ax2+bx 3﹣a，其中 a、b为实数，a＜0，且经过（3，0）．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含 a的代数式表示）；

（2）若 a＝﹣2，当 t2≤﹣x≤t时，函数的最大值是 6，求 t的值；

（3）点 A坐标为（0，4），将点 A向右平移 3个单位长度，得到点 B．若抛物线与线段 AB 有两个公共

点，求 a的取值范围．

【变式 3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点

（2，c）．

（1）求抛物线与 x轴的另一个交点坐标．

（2）当 t≤x≤2﹣t时，函数的最大值为 M，最小值为 N，若 M﹣N＝3，求 t的值．

【题型 4 二次函数中求线段最值】

【例 4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线 y＝ax2+bx 2﹣ 与 x轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0），与 y

轴交于点 C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 M是抛物线对称轴上的动点，求 MB+MC 的最小值；

（3）若点 P是直线 AC 下方抛物线上的动点，过点 P作PQ⊥AC 于点 Q，线段 PQ 是否存在最大值？若

存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

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