专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

3.0 envi 2025-05-05 6 4 1.39MB 62 页 3知币

专题 22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】

【人教版】

【题型 1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】...............................................................................2

【题型 2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】...............................................................................................4

【题型 3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】...................................................................................6

【题型 4 二次函数中求线段最值】..........................................................................................................................10

【题型 5 二次函数中求线段和差最值】..................................................................................................................18

【题型 6 二次函数中求周长最值】..........................................................................................................................32

【题型 7 二次函数中求面积最值】..........................................................................................................................42

【题型 8 二次函数在新定义中求最值】..................................................................................................................52

【知识点 1 二次函数的最值】

1.对于二次函数在上的最值问题（其中 a、b、c、m和n均为定值，表

示y的最大值，表示 y的最小值）：

（1）若自变量 x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．

（2）若，如图②，当，；当，．

（3）若，如图③，当，；当，．

（4）若，，如图④，当，；当，．

x=-

④

③

②

①

2.对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论

m，n与的大小．

【题型 1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】

【例 1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数 y＝x22﹣x+m．当﹣3≤x≤3 时，则 y的最大值为　 15+ m

（用含 m的式子表示）．

【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当

﹣3≤x≤3 时，y的最大值．

【解答】解：∵二次函数 y＝x22﹣x+m＝（x1﹣ ）21+﹣m，

∴该函数的对称轴是直线 x＝1，该函数图象开口向上，当 x＝1时，有最小值，

∴当﹣3≤x≤3 时，y取得最大值时对应的 x的值是﹣3，

∵当 x＝﹣3时，y＝（﹣3 1﹣ ）21+﹣m＝15+m，

∴当﹣3≤x≤3 时，y的最大值为 15+m，

故答案为：15+m．

【变式 1-1】（2022 秋•河西区期末）当 x≥2 时，二次函数 y＝x22﹣x3﹣ 有（　　）

A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4

【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．

【解答】解：∵y＝x22﹣x3﹣ ＝（x1﹣ ）24﹣ ，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，

∴当 x＞1时，y随x的增大而增大，

∴当 x≥2 时，函数有最小值 y＝222×2 3﹣ ﹣ ＝﹣3，

故选：B．

【变式 1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数 y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数 y的最小值和最大值．小

王的解答过程如下：

解：当 x＝﹣1时，y＝1；

当x＝2时，y＝4；

所以函数 y的最小值为 1，最大值为 4．

小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．

【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质

即可解答本题．

【解答】解：小王的做法是错误的，

正确的做法如下：

∵二次函数 y＝x2，

∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是 y轴，

∵﹣1≤x≤2，

∴当 x＝0时取得最小值，最小值是 0，

当x＝2时取得最大值，此时 y＝4，

由上可得，当﹣1≤x≤1 时，函数 y的最小值是 0，最大值是 4．

【变式 1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数 y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线 x＝

1．

（1）求 b+c的值．

（2）当﹣4≤x≤3 时，求 y的最大值．

（3）平移抛物线 y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数 y＝2x2﹣x1﹣ 上，求平移后所得抛物线与 y轴

交点纵坐标的最小值．

【分析】（1）由对称轴

−b

2=¿

1，求出 b的值，再将点（3，0）代入 y＝x²+bx﹣c，即可求解析式；

（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线 x＝1，结合函数图像可知当 x＝﹣4时，y有最大值 21；

（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h1﹣ ），可求平移后的解析式为 y＝（x﹣h）2+2h2﹣h1﹣ ，设平移后所得

抛物线与 y轴交点的纵坐标为 w，则 w＝3h2﹣h1﹣ ＝3（h

−1

）2

−13

，即可求解．

【解答】解：（1）∵二次函数 y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线 x＝1，

∴

−b

2=¿

1，

∴b＝﹣2，

∵二次函数 y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），

∴9 6﹣ ﹣c＝0，

∴c＝3，

∴b+c＝1；

（2）由（1）可得 y＝x² 2﹣x3﹣ ＝（x1﹣ ）24﹣ ，

∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，

∵﹣4≤x≤3，

∴当 x＝﹣4时，y有最大值 21；

（3）平移抛物线 y＝x22﹣x3﹣ ，其顶点始终在二次函数 y＝2x2﹣x1﹣ 上，

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