专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

3.0 envi 2025-05-05 10 4 1.57MB 97 页 3知币

专题 22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】

【人教版】

【题型 1 二次函数中直角三角形的存在性问题】...................................................................................................1

【题型 2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................10

【题型 3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.........................................................................................21

【题型 4 二次函数中平行四边形的存在性问题】.................................................................................................35

【题型 5 二次函数中矩形的存在性问题】..............................................................................................................42

【题型 6 二次函数中菱形的存在性问题】..............................................................................................................56

【题型 7 二次函数中正方形的存在性问题】.........................................................................................................68

【题型 8 二次函数中角度问题的存在性问题】.....................................................................................................78

【题型 1 二次函数中直角三角形的存在性问题】

【例 1】（2022•柳州）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴交于 A（﹣1，0），B（m，0）两点，与 y轴交于

点C（0，5）．

（1）求 b，c，m的值；

（2）如图 1，点 D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 D在第一象限内，过点 D作x轴的平

行线交抛物线于点 E，作 y轴的平行线交 x轴于点 G，过点 E作EF⊥x轴，垂足为点 F，当四边形

DEFG 的周长最大时，求点 D的坐标；

（3）如图 2，点 M是抛物线的顶点，将△MBC 沿BC 翻折得到△NBC，NB 与y轴交于点 Q，在对称轴

上找一点 P，使得△PQB 是以 QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 P的坐标．

【分析】（1）把 A（﹣1，0），C（0，5）代入 y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得 b，c的值，

令y＝0即可得 m的值；

（2）设 D（x，﹣x2+4x+5），则 E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形 DEFG 的周长，根据二次函数

的最值即可求解；

（3）过点 C作CH⊥对称轴于 H，过点 N作NK⊥y轴于 K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的

性质得 NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则 N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线 BN 的解析式为 y

¿−1

，可得 Q（0，

），设 P（2，p），利用勾股定理表示出 PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当

∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．

【解答】解：（1）把 A（﹣1，0），C（0，5）代入 y＝﹣x2+bx+c，

得

{

−1−b+c=0

c=5

，

解得

{

b=4

c=5

．

∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，

令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得 x1＝5，x2＝﹣1，

∴B（5，0），

∴m＝5；

（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣ ）2+9，

∴对称轴为 x＝2，

设D（x，﹣x2+4x+5），

∵DE∥x轴，

∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），

∵过点 D作x轴的平行线交抛物线于点 E，作 y轴的平行线交 x轴于点 G，过点 E作EF⊥x轴，

∴四边形 DEFG 是矩形，

∴四边形 DEFG 的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x4+﹣x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x3﹣ ）2+20，

∴当 x＝3时，四边形 DEFG 的周长最大，

∴当四边形 DEFG 的周长最大时，点 D的坐标为（3，8）；

（3）过点 C作CH⊥对称轴于 H，过点 N作NK⊥y轴于 K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，

由翻折得 CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，

∵B（5，0），C（0，5）．

∴OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵CH⊥对称轴于 H，

∴CH∥x轴，

∴∠BCH＝45°，

∴∠BCH＝∠OCB，

∴∠NCK＝∠MCH，

∴△MCH≌△NCK（AAS），

∴NK＝MH，CK＝CH，

∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣ ）2+9，

∴对称轴为 x＝2，M（2，9），

∴MH＝9 5﹣ ＝4，CH＝2，

∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，

∴N（﹣4，3），

设直线 BN 的解析式为 y＝mx+n，

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）.docx

共97页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: