专题22.8 二次函数y=a(x-h)² k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.8 二次函数 y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
1. 会用描点法画出 二次函 数
2
( )y a x h k  
(a 、 h、 k 常 数 ，a≠0) 的 图象 ． 掌握 抛 物线
2
( )y a x h k  
与
2
y ax
图象之间的关系；
2. 熟练掌握函数
2
( )y a x h k  
的有关性质，并能用函数
2
( )y a x h k  
的性质解决一些
实际问题；
3.经历探索
2
( )y a x h k  
的图象及性质的过程，体验
2
( )y a x h k  
与
2
y ax
、
2
y ax k 
、
2
( )y a x h 
之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数 与函数 的图象与性质
1.函数 的图象与性质
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a
向上
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
0
．
0a
向下
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
0
．
2.函数 的图象与性质
a
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a
向上
 
h k，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x h
时，
y
随
x
的
增大而减小；
x h
时，
y
有最小值
k
．
0a
向下
 
h k，
x=h
x h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x h
时，
y
随
x
的
增大而增大；
x h
时，
y
有最大值
k
．
特别说明：二次函数
2
( ) + ( 0y a x h k a  ≠ ）
的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，
借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
2.性质：
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
 
2
y a x h k  
，确定其顶点坐标
 
h k，
；
⑵ 保持抛物线
2
y ax
的形状不变，将其顶点平移到
 
h k，
处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．概括成八个字“左加
右减，上加下减”．
特别说明：
⑴
cbxaxy 2
沿
y
轴平移:向上（下）平移
m
个单位，
cbxaxy 2
变成
mcbxaxy 2
（或
mcbxaxy 2
）
⑵
cbxaxy 2
沿 x 轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
cbxaxy 2
变成
cmxbmxay )()( 2
（或
cmxbmxay )()( 2
）
　【典型例题】
1．已知二次函数经过点 ，且当 时，函数 有最大值 4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点 的二次函数解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设顶点式为 y＝a（x−1）2＋4，然后把（0，3）代入求出 a即可；
（2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为 y＝（x−1）2＋h，然后把（0，3）代入求出
h解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x−1）2＋4，
把（0，3）代入得 a（0−1）2＋4＝3，
解得 a＝−1，
所以抛物线解析式为 y＝ （−x−1）2＋4；
（2）设抛物线解析式为 y＝（x−1）2＋h，
把（0，3）代入得 1＋h＝3，解得 h＝2，
所以满足条件的一个抛物线解析式为 y＝（x−1）2＋2．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，
要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点
或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标
特征．
举一反三：
【变式 1】 已知函数 是二次函数．
（1）求 m的值；
（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）-3；（2） ，开口方向向下，对称轴是直线 ，顶点坐标
是（-2，-5）
【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为 2，可以求出 m的值，再结合二次项系数不
等于 0，即可最终确定 m的值；（2）将 m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据 a
的正负，对称轴为直线 x=-h 以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．
解：（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将 m=-3 代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线 ，顶点坐标是（-2，-5）．
【点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质
是解决本题的关键．
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