专题22.7 相似形章末重难点突破（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

3.0 envi 2025-05-05 5 4 937.51KB 45 页 3知币
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专题 22.7 相似形章末重难点突破
【沪科版】
【考点 1比例线段与黄金分割】
【例 1】（2021 秋•石阡县期中）下列各组的四条线段 a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝2，b
¿❑
√
5
，c＝2
❑
√
3
，d
¿❑
√
15
D．a
¿❑
√
2
，b＝3，c＝2，d
¿❑
√
3
【解题思路】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫
成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答过程】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.2
×❑
√
15=❑
√
5×2❑
√
3
，故符合题意，
D.
❑
√
2×❑
√
3≠
3×2，故不符合题意，
故选：C．
【变式 1-1】（2021 秋•芦溪县月考）已知线段 a、b、c满足 a：b：c＝3：2：6，且 a+2b+c＝26．
（1）求 a、b、c的值；
（2）若线段 x是线段 a、b的比例中项，求 x的值．
【解题思路】（1）利用 a：b：c＝3：2：6，可设 a＝3k，b＝2k，c＝6k，则 3k+2×2k+6k＝26，然后解
出k的值即可得到 a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到 x2＝ab，即 x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答过程】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，
∴设 a＝3k，b＝2k，c＝6k，
又∵a+2b+c＝26，
∴3k+2×2k+6k＝26，解得 k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝12；
（2）∵x是a、b的比例中项，
∴x2＝ab，
∴x2＝4×6，
∴x＝2
❑
√
6
或x＝﹣2
❑
√
6
（舍去），
即x的值为 2
❑
√
6
．
【变式 1-2】（2021 秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐
至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为
154cm，她上半身的长度为 62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自
己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【解题思路】她下半身的长度为 92cm，设鞋跟高为 x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的
定义得到
62
92+x≈
0.618，然后解方程即可．
【解答过程】解：∵一位女士身高为 154cm，她上半身的长度为 62cm，
∴她下半身的长度为 92cm，
设鞋跟高为 x厘米时，她身材显得更为优美，
根据题意得
62
92+x≈
0.618，
解得 x≈8.3（cm）．
经检验 x＝8.3 为原方程的解，
所以选择鞋跟高为 8厘米的高跟鞋最佳．
故选：C．
【变式 1-3】（2021 秋•市北区期末）如图，线段 AB＝1，点 P1是线段 AB 的黄金分割点（且 AP1＜BP1，即
P1B2=A P1⋅AB
），点 P2是线段 AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点 P3是线段 AP2的黄金分割点
（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段 AP2020 的长度是（　　）
A．
¿
B．
¿
C．
¿
D．
¿
【解题思路】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的
线段分割叫做黄金分割，它们的比值
❑
√
5−1
2
叫做黄金比进行解答即可．
【解答过程】解：根据黄金比的比值，BP1
¿❑
√
5−1
2
，
则AP1＝1
−❑
√
5−1
2=3−❑
√
5
2
，
AP2＝（
3−❑
√
5
2
）2，
AP3＝（
3−❑
√
5
2
）3，
…
依此类推，则线段 AP2020 的长度是（
3−❑
√
5
2
）2020
故选：A．
【考点 2 比例的基本性质】
【例 2】（2021 春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知
x
a−b=y
b−c=z
c−a
（a、b、c互相不相等），求 x+y+z的值．
解：设
x
a−b=y
b−c=z
c−a=k
，则 x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣
b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，
依照上述方法解答下列问题：已知：
y+z
x=z+x
y=x+y
z
（x+y+z≠0），求
x−y−z
x+y+z
的值．
【解题思路】设
y+z
x=z+x
y=x+y
z=¿
k，根据比例的性质得到 x＝y＝z，计算即可．
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