专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共 30 题，选择 10 题，填空 10 题，解答 10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
一．选择题（共 10 小题）
1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线 y＝ax2+bx+1 与直线 y＝x只有一个交点 C，已知点 C在
第一象限，且 2≤[C]≤4，令 t＝2b24﹣a+2020，则 t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x≥0 时，它们对应的函
数值相等；当 x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：
正比例函数 y＝x，它的相关函数为
y=
{
x(x ≥ 0)
−x(x＜0)
．已知点 M，N的坐标分别为
(−1
2，1)
，
(9
2，1)
，
连结 MN，若线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则 n的取值范围为（
）
A．﹣3≤n≤ 1﹣ 或
1＜n ≤ 5
4
B．﹣3＜n＜﹣1或
1＜n ≤ 5
4
C．﹣3＜n≤ 1﹣ 或
1≤n ≤ 5
4
D．﹣3≤n≤ 1﹣ 或
1≤n ≤ 5
4
3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的 2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数 y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则 c的取值范围是（　　）
A．﹣2＜c
B．﹣4＜c
＜9
4
C．﹣4＜c
＜1
4
D．﹣10＜c
＜9
4
4．（2022 秋•汉阳区期中）我们定义：若点 A在某一个函数的图象上，且点 A的横纵坐标相等，我们称点
A为这个函数的“好点”．若关于 x的二次函数 y＝ax2+tx 2﹣t对于任意的常数 t恒有两个“好点”，则
a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．0
＜a＜1
2
C．
1
3＜a＜1
2
D．
1
2＜a＜1
5．（2022 秋•和平区校级月考）对于实数 a，b，定义运算“*”：a*b
¿
{
a2−ab (a ≥ b)
b2−ab(a＜b)
，例如：4*2，因为
4＞2，所以 4*2＝424×2﹣ ＝8．若函数 y＝（2x）*（x+1），则下列结论：
①方程（2x）*（x+1）＝0的解为﹣1和1；
②关于 x的方程（2x）*（x+1）＝m有三个解，则 0＜m≤1；
③当 x＞1时，y随x的增大而增大；
④直线 y＝kx﹣k与函数 y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则 k＝﹣2；
⑤当 x＜1时，函数 y＝（2x）*（x+1）的最大值为 1．
其中正确结论的序号有（　　）
A．②④⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．①③⑤
6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横坐标 x的绝对值表示为|x|，纵坐标 y
的绝对值表示为|y|，我们把点 P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 P（x，y）的折线距离，
记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线 y＝ax2+bx+1 与直线 y＝x只有一个交点
M，已知点 M在第一象限，且 2≤|M|≤4，令 t＝2b24﹣a+2022，则 t的取值范围为（　　）
A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020
C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022
7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点 P′（m，n′），给出如下新定义，若 n'
¿
{
¿n∨(当m＜0时)
n−2(当m ≥ 0时)
，则称点 P′（m，n′）是点 P（m，n）的限变点，例如：点 P1（1，4）的限变点是
P′1（1，2），点 P2（﹣2，﹣1）的限变点是 P′2（﹣2，1），若点 P（m，n）在二次函数 y＝﹣x2+4x+1
的图象上，则当﹣1≤m≤3 时，其限变点 P′的纵坐标 n'的取值范围是（　　）
A．﹣1≤n'＜3 B．1≤n'＜4 C．1≤n'≤3 D．﹣1≤n'≤4
8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与 x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物
线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线 l：y
¿1
3
x+b经过点 M（0，
1
4
），一组抛物线的顶点
B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线 l上的点，这组
抛物线与 x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为
正整数）．若 x1＝d（0＜d＜1），当 d为（　　）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．
5
12
或
7
12
B．
5
12
或
11
12
C．
7
12
或
11
12
D．
7
12
9．（2022 秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函
数”．如图，在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），则互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m与
正方形 OABC 有交点时 m的最大值和最小值之差为（　　）
A．5 B．
7+❑
√
17
2
C．4 D．
7−❑
√
17
2
10．（2022 秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点 P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐
标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点 P叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．
已知点 P是抛物线 y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为 16，则 k的值可以是（　　）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
二．填空题（共 10 小题）
11．（2022•芦淞区模拟）定义[a，b，c]为函数 y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数位[2m，1﹣m，﹣1
﹣m]的函数的一些结论：
①当 m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（
1
3
，
8
3
）；
②当 m＝1时，函数图象截 x轴所得的线段长度等于 2；
③当 m＝﹣1时，函数在 x
＞1
4
时，y随x的增大而减小；
④当 m≠0 时，函数图象经过同一个点．
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