专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 478.34KB 47 页 3知币
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专题 22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共 30 题，选择 10 题，填空 10 题，解答 10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
一．选择题（共 10 小题）
1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做
点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线 y＝ax2+bx+1 与直线 y＝x只有一个交点 C，已知点 C在
第一象限，且 2≤[C]≤4，令 t＝2b24﹣a+2020，则 t的取值范围为（　　）
A．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019
C．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021
【分析】联立方程组求得 C点坐标，并由只有一个交点条件求得 a、b的关系式，再由新定义和 2≤[C]≤4
列出 b的不等式，求得 b的取值范围，由 t＝2b24﹣a+2020，得出 t关于 b的函数解析式，再根据函数的
性质求得 t的取值范围．
【解答】解：由题意方程组
{
y=x
y=a x2+bx +1
只有一组实数解，
消去 y得ax2+（b1﹣ ）x+1＝0，
由题意得 Δ＝0，
∴（b1﹣ ）24﹣a＝0，
∴4a＝（b1﹣ ）2，即 a
¿1
4¿
，
∴方程 ax2+（b1﹣ ）x+1＝0可以化为
1
4¿
，
即（b1﹣ ）2x2+4（b1﹣ ）x+4＝0，
∴x1＝x2
¿2
1−b
，
∴C（
2
1−b
，
2
1−b
），
∵点 C在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∵2≤[C]≤4，
∴2
4，
∴1
≤2
1−b≤
2，
解得：﹣1≤b≤0，
∵t＝2b24﹣a+2020，
∴t＝2b2﹣（b1﹣ ）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，
∵﹣1≤b≤0，
∴t随b的增大而增大，
∵b＝﹣1时，t＝2018，
t＝0时，t＝2019，
∴2018≤t≤2019．
故选：B．
2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x≥0 时，它们对应的函
数值相等；当 x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：
正比例函数 y＝x，它的相关函数为
y=
{
x(x ≥ 0)
−x(x＜0)
．已知点 M，N的坐标分别为
(−1
2，1)
，
(9
2，1)
，
连结 MN，若线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则 n的取值范围为（
）
A．﹣3≤n≤ 1﹣ 或
1＜n ≤ 5
4
B．﹣3＜n＜﹣1或
1＜n ≤ 5
4
C．﹣3＜n≤ 1﹣ 或
1≤n ≤ 5
4
D．﹣3≤n≤ 1﹣ 或
1≤n ≤ 5
4
【分析】首先确定出二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段 MN 恰好有 1个交点、2个交点、3个交
点时 n的值，然后结合函数图象可确定出 n的取值范围．
【解答】解：如图 1所示：线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有 1个公共点，
∵二次函数 y＝﹣x2+4x+n的对称轴为 x
¿−4
2×(−1)=¿
2，
∴当 x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得 n＝﹣3，
如图 2所示：线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好 3个公共点．
∵抛物线 y＝x24﹣x﹣n与y轴交点纵坐标为 1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤ 1﹣ 时，线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有 2个公共点，
如图 3所示：线段 MN 与二次函数 y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有 3个公共点．
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