专题22.6 图形的位似变换-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.6 图形的位似变换-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 位似图形】
1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 ,所在的直线都经过同一点 ，且有
=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位似中心
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
3、画图步骤：
（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形
（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数 ，
所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
【题型 1 图形的位似变换（放大与缩小问题）】
【例 1】（2021•北碚区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），
以原点 O为位似中心，位似比为 2，把四边形 OABC 放大，则点 C对应点 C′的坐标为（　　）
A．（
−1
2
，1）B．（﹣2，4）
C．（
−1
2
，1）或（
1
2
，﹣1）D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【解题思路】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或﹣k，进而得出答案．
【解答过程】解：∵点 A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点 O为位似中心，位似比为 2，把
四边形 OABC 放大，
∴点 C对应点 C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
【变式 1-1】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，以 O为位似中心，把△ABC 放大 2倍得到△A′B
′C′，那么 A′的坐标为　 （﹣ 8 ， 4 ）或（ 8 ，﹣ 4 ） 　 ．
【解题思路】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图
形对应点的坐标的比等于 k或﹣k解答．
【解答过程】解：由平面直角坐标系可知，点 A的坐标为（﹣4，2），
以O为位似中心，把△ABC 放大 2倍得到△A′B′C′，
则A′的坐标为（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），
即（﹣8，4）或（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
【变式 1-2】（2020•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2），过点 A作AB⊥x轴，
垂足为点 B，将△AOB 以坐标原点 O为位似中心缩小为原图形的
1
2
，得到△COD，则 OC 的长度是（
）
A．1 B．2 C．
❑
√
5
D．
2❑
√
5
【解题思路】直接利用位似图形的性质以及结合 A点坐标直接得出点 C的坐标，即可得出答案．
【解答过程】解：∵点 A（4，2），过点 A作AB⊥x轴于点 B．将△AOB 以坐标原点 O为位似中心缩小
为原图形的
1
2
，得到△COD，
∴C（2，1），则 OC 的长度
¿❑
√
22+12=❑
√
5
．
故选：C．
【变式 1-3】（2020 秋•龙沙区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，8），点 B（8，0），点 C在
线段 AB 上，AC＝2
❑
√
2
，若以原点 O为位似中心，把线段 AB 缩小为原来的
1
2
，得到线段 A′B′，则点 C
的对应点 C′坐标为　 （ 1 ， 3 ）或（﹣ 1 ，﹣ 3 ） 　 ．
【解题思路】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C'点坐标．
【解答过程】解：∵点 A（0，8），点 B（8，0），点 C在线段 AB 上，AC＝2
❑
√
2
，
∴AB＝8
❑
√
2
，
∴点 C坐标为（2，6），
∵以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的
1
2
后得到线段 A′B′，
∴点 C'的横坐标和纵坐标都变为 C点的横坐标和纵坐标的一半，
∴点 C'的坐标为（1，3）．
在第三象限时，点 C'的坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：（1，3）或（﹣1，﹣3）．
【题型 2 图形的位似变换（求点的坐标问题）】
【例 2】（2021•阳东区模拟）如图，在△AOB 中，A，B两点在 x轴的上方，以点 O为位似中心，在 x轴的
下方按 1：2的相似比作△AOB 的位似图形△A'OB'．设点 B的对应点 B'的坐标是（4，﹣2），则点 B的
坐标是（　　）
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