专题22.6 二次函数y=ax² c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.6 二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解）
【学习目标】
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数
 
20y ax c a 
的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、
顶点、开口方向等概念；
3．掌握二次函数
 
20y ax c a 
的图象的性质， 掌握二次函数
 
20y ax a 
与
 
20y ax c a 
之间的关系；（上加下减）.
【要点梳理】
要点一、二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
0a
（2）
0a
2.二次函数 y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数
2( 0)y ax c a  
的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、
函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表
归纳如下：
j
j
j
j
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y 轴 y 轴
函数变化 当
0x
时，y 随 x 的增大而增大；
当
0x
时，y 随 x 的增大而减小.
当
0x
时，y 随 x 的增大而减小；
当
0x
时，y 随 x 的增大而增大.
最大（小）
值当
0x
时，
y c
最小值
当
0x
时，
y c
最大值
3.二次函数
 
2
0y ax a 
与
 
20y ax c a 
之间的关系；（上加下减）.
 
2
0y ax a 
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到
 
20y ax c a 
的图象.
特别说明：抛物线
2( 0)y ax c a  
的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线
2( 0)y ax a 
的形状相同．函数
2( 0)y ax c a  
的图象是由函数
2( 0)y ax a 
的图
象向上（或向下）平移
| |c
个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线 y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与 x 轴
垂直的一条直线，其顶点横坐标 x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即 a 的值不变，
只是位置发生变化而已．
【典型例题】
类型一、
1．在同一直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答
即可.
（1）解：如图：
，
与 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是 y轴，
与 图象的不同点是： 开口向上，顶点坐标是
（0，1）， 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点： ，当 x＜0时，y随x的增大而减小，当 x＞0时，y随x的增大
而增大； ，当 x＜0时，y随x的增大而增大，当 x＞0时，y随x的增
大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性
质是解答的关键.
举一反三：
【变式 1】已知二次函数 ．
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