专题22.5 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.5 相似三角形的应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 相似三角形的应用】
在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似
三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模
型。
【题型 1 相似三角形的应用（九章算术）】
【例 1】（2020 秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，
以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题 ：
“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC 的两条直角边的长分别为 5
和12，则它的内接正方形 CDEF 的边长为（　　）
A．
25
17
B．
60
17
C．
100
17
D．
144
17
【变式 1-1】（2021•广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，
南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形
ABCD，东边城墙 AB 长9里，南边城墙 AD 长7里，东门点 E，南门点 F分别位于 AB，AD 的中点
EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15 里，HG 经过 A点，则 FH 的长为（　　）
A．0.95 里B．1.05 里C．2.05 里D．2.15 里
【变式 1-2】（2021 春•苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井
深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几
何？”现在我们
可以解释为：如图，矩形 BCDE 的边 BE、CD 表示井的直径，A在CB 的延长线上，CD＝5尺，AB＝5
尺，AD 交BE 于F，BF＝0.4 尺，根据以上条件，可求得井深 BC 为 　 　尺．
【变式 1-3】（2020•芗城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基
本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样
一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图， Rt△ABC 的两条直角边的
长分别为 5和12，求它的内接正方形 CDEF 的边长．
【题型 2 相似三角形的应用（影长问题）】
【例 2】（2021•津南区模拟）如图，身高 1.8 米的小石从一盏路灯下 B处向前走了 8米到达点 C处时，发
现自己在地面上的影子 CE 长是 2米，则路灯的高 AB 为　 　米．
【变式 2-1】（2020 秋•碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知
识测量一个广告牌的高度 EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点 D时，其影子末端与广告牌影
子末端重合于点 H，其中 DH＝1m．随后，组员在直线 DF 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，
这个标记在直线 DF 上的对应位置为点 G．镜子不动，小颖从点 D沿着直线 FD 后退 5m到B点时，恰
好在镜子中看到顶端 E的像与标记 G重合，此时 BG＝2m．
如图，已知 AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为 1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的
厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度 EF．
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