专题22.5 相似三角形的应用-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.5 相似三角形的应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 相似三角形的应用】
在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似
三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模
型。
【题型 1 相似三角形的应用（九章算术）】
【例 1】（2020 秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，
以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题 ：
“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC 的两条直角边的长分别为 5
和12，则它的内接正方形 CDEF 的边长为（　　）
A．
25
17
B．
60
17
C．
100
17
D．
144
17
【解题思路】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解答过程】解：∵四边形 CDEF 是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则 CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴
DE
BC
=AD
AC
，
∴
x
12
=5−x
5
，
∴x
，
∴正方形 CDEF 的边长为
60
17
．
故选：B．
【变式 1-1】（2021•广西模拟）《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，
南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形
ABCD，东边城墙 AB 长9里，南边城墙 AD 长7里，东门点 E，南门点 F分别位于 AB，AD 的中点
EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15 里，HG 经过 A点，则 FH 的长为（　　）
A．0.95 里B．1.05 里C．2.05 里D．2.15 里
【解题思路】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求
得答案即可．
【解答过程】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG 经过 A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴
FG
FA
=EA
FH
，
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15 里，
∴FA＝3.5 里，EA＝4.5 里，
∴
15
3.5
=4.5
FH
，
解得：FH＝1.05 里．
故选：B．
【变式 1-2】（2021 春•苏州期末）我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井
深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几
何？”现在我们
可以解释为：如图，矩形 BCDE 的边 BE、CD 表示井的直径，A在CB 的延长线上，CD＝5尺，AB＝5
尺，AD 交BE 于F，BF＝0.4 尺，根据以上条件，可求得井深 BC 为 　 57.5 　 尺．
【解题思路】利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答过程】解：设 BC＝x尺．
∵四边形 BCDE 是矩形，
∴BF∥CD，
∴△AFB∽△ADC，
∴
FB
DC
=AB
AC
，
∴
0.4
5
=5
5+x
，
解得 x＝57.5，
经检验：x＝57.5 是分式方程的解．
∴BC＝57.5（尺）．
故答案为：57.5．
【变式 1-3】（2020•芗城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基
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