专题22.5 二次函数的应用【九大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.5  二次函数的应用【九大题型】
【人教版】
【题型 1  图形面积或周长问题】................................................................................................................................1
【题型 2  图形运动问题】............................................................................................................................................4
【题型 3  拱桥问题】....................................................................................................................................................7
【题型 4  销售问题】..................................................................................................................................................10
【题型 5  投球问题】..................................................................................................................................................12
【题型 6  喷水问题】..................................................................................................................................................16
【题型 7  增长率问题】..............................................................................................................................................20
【题型 8  车过隧道问题】..........................................................................................................................................22
【题型 9  行程问题】..................................................................................................................................................25
【知识点 1  解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型 1  图形面积或周长问题】
【例 1】（2022 秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，
用总长为 80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域
的面积相等．设 BC 的长度为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2．
（1）求 y与x之间的函数关系式，并注明自变量 x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【变式 1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角

（两边足够长），用 32m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB＝xm．

（1）若花园的面积为 252m2，求 x的值；

（2）若在 P处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，

不考虑树的粗细），求花园面积 S的最大值．

【变式 1-2】（2022 秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二

次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x26﹣x+10＝（x26﹣x+9 9﹣ ）+10＝（x3﹣ ）29+10﹣

＝（x3﹣ ）2+1≥1；因此 x26﹣x+10 有最小值是 1，只有当 x＝3时，才能得到这个式子的最小值 1．同样

﹣3x26﹣x+5＝﹣3（x2+2x+1 1﹣ ）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x26﹣x+5 有最大值是 8，只有当 x＝﹣1

时，才能得到这个式子的最小值 8．

（1）当 x＝　　时，代数式﹣2（x3﹣ ）2+5 有最大值为　　．

（2）当 x＝　　时，代数式 2x2+4x+3 有最小值为　　．

（3）矩形自行车场地 ABCD 一边靠墙（墙长 10m），在 AB 和BC 边各开一个 1米宽的小门（不用木

板），现有能围成 14m长的木板，当 AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

【变式 1-3】（2022•市南区一模）小明准备给长16 米，宽12 米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、

Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形 ABCD 和EFGH 均为正方形，

且各有两边与长方形边重合：矩形 MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．

（1）若花卉均价为300 元/米2，种植花卉的面积为 S（米2），草坪均价为200 元/米2，且花卉和草坪栽

种总价不超过43600 元，求 S的最大值．

（2）若矩形 MFNC 满足MF：FN＝1：2．

①求 MF，FN 的长．

②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为 180 元/米2，90 元/米2，180 元/米2，且边 BN 的长不小于边ME

长的

倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值．

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