专题22.5 二次函数的应用【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.5  二次函数的应用【九大题型】
【人教版】
【题型 1  图形面积或周长问题】................................................................................................................................1
【题型 2  图形运动问题】............................................................................................................................................6
【题型 3  拱桥问题】..................................................................................................................................................10
【题型 4  销售问题】..................................................................................................................................................14
【题型 5  投球问题】..................................................................................................................................................18
【题型 6  喷水问题】..................................................................................................................................................24
【题型 7  增长率问题】..............................................................................................................................................30
【题型 8  车过隧道问题】..........................................................................................................................................33
【题型 9  行程问题】..................................................................................................................................................38
【知识点 1  解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型 1  图形面积或周长问题】
【例 1】（2022 秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，
用总长为 80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域
的面积相等．设 BC 的长度为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2．
（1）求 y与x之间的函数关系式，并注明自变量 x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2倍，可得出 AE＝

2BE，设 BE＝a，则有 AE＝2a，表示出 a与2a，进而表示出 y与x的关系式，并求出 x的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出 y的最大值，以及此时 x的值即可．

【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形 AEFD 面积是矩形 BCFE 面积的 2倍，

∴AE＝2BE，

设BE＝FC＝am，则 AE＝HG＝DF＝2am，

∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即 8a+2x＝80，

∴a

¿−1

x+10，3a

¿−3

x+30，

∴y＝（

−3

x+30）x

¿−3

x2+30x，

∵a

¿−1

x+10＞0，

∴x＜40，

则y

¿−1

x2+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y

¿−3

x2+30x

¿−3

（x20﹣ ）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为

−3

4＜

0，

∴当 x＝20 时，y有最大值，最大值为 300 平方米．

【变式 1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角

（两边足够长），用 32m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB＝xm．

（1）若花园的面积为 252m2，求 x的值；

（2）若在 P处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，

不考虑树的粗细），求花园面积 S的最大值．

【分析】（1）根据 AB＝x米可知 BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；

（2）根据 P处有一棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 18 米和 8米求出 x的取值范围，再根据（1）中的

函数关系式即可得出结论．

【解答】解：（1）设 AB＝x米，可知 BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252．

解这个方程得：x1＝18，x2＝14，

答：x的长度 18m或14m．

（2）设周围的矩形面积为 S，

则S＝x（32﹣x）＝﹣（x16﹣ ）2+256．

∵在 P处有一棵树与墙 CD，AD 的距离是 17m和6米，

∴6≤x≤15．

∴当 x＝15 时，S最大＝﹣（15 16﹣ ）2+256＝255（平方米）．

答：花园面积的最大值是 255 平方米．

【变式 1-2】（2022 秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二

次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x26﹣x+10＝（x26﹣x+9 9﹣ ）+10＝（x3﹣ ）29+10﹣

＝（x3﹣ ）2+1≥1；因此 x26﹣x+10 有最小值是 1，只有当 x＝3时，才能得到这个式子的最小值 1．同样

﹣3x26﹣x+5＝﹣3（x2+2x+1 1﹣ ）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x26﹣x+5 有最大值是 8，只有当 x＝﹣1

时，才能得到这个式子的最小值 8．

（1）当 x＝　 3 　时，代数式﹣2（x3﹣ ）2+5 有最大值为　 5 　．

（2）当 x＝　﹣ 1 　时，代数式 2x2+4x+3 有最小值为　 1 　．

（3）矩形自行车场地 ABCD 一边靠墙（墙长 10m），在 AB 和BC 边各开一个 1米宽的小门（不用木

板），现有能围成 14m长的木板，当 AD 长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）类比例子得出答案即可；

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