专题22.4 相似三角形的性质-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.4 相似三角形的性质-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 相似三角形的性质】
①相似三角形的对应角相等．
如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．
如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角
的平分线成比例，都等于相似比．
如 图 ， ∽ ， 和 是
中 边上的中线、高线和角平分线，
、 和 是 中 边上的中
线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．
如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有
【题型 1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】
【例 1】（2020 秋•岳阳期末）如图，AE 与BD 相交于点 C，已知 AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6．求证：
AB∥DE．
【解题思路】根据已知条件证明△ACB∽△ECD，可得∠A＝∠E，进而可得结论．
【解答过程】证明：∵
AC
EC =5
10 =1
2
，
BC
DC =3
6=1
2
，
∴
AC
EC =BC
DC
，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ACB∽△ECD，
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
【变式 1-1】（2020 秋•德江县期末）如图，∠1＝∠2，
AB
AE =AC
AD
，求证：∠C＝∠D．
【解题思路】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，结合
AB
AE =AC
AD
，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三
角形的性质即可得到∠C＝∠D．
【解答过程】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵
AB
AE =AC
AD
，
∴△BAC∽△EAD，
∴∠C＝∠D．
【变式 1-2】（2020 秋•遂川县期末）如图，在等腰直角△ABC 中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动
过程上保持 AD⊥BD 于点 D，将△BCD 沿BD 翻折得到△BED，在直线 AD 上取点 F，作 CF∥DE．
（1）如图 1，若 AD 与BC 相交于点 G，求证
；
（2）猜想△CDF 的形状，并说明理由．
【解题思路】（1）证明△BDG∽△ACG 即可得到结论；
（2）先证明△CDG∽△ABG，可得∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC
＝135°，进一步得到∠CDE＝90°，由 CF∥DE，可得∠DCF＝∠CDE＝90°，即∠CFD＝45°，进而可得
△CDF 为等腰直角三角形．
【解答过程】解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，AC＝BC，AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠BGD＝∠AGC，
∴△BDG∽△ACG，
∴
DG
CG =BG
AG
；
（2）△CDF 为等腰直角三角形，
理由：由（1）得
DG
CG =BG
AG
．
又∵∠CGD＝∠AGB，
∴△CDG∽△ABG，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，
由翻折得∠BDE＝∠BDC＝135°．
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