专题22.3 相似三角形的判定-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.3 相似三角形的判定-重难点题型

【沪科版】

【知识点 1 相似三角形的判定】

判定定理

判定定理 1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的

两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

简称为两角对应相等，两个三角形相

似．

如图，如果，，则

．

判定定理 2：

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

这两个三角形相似．

简称为三边对应成比例，两个三角形相

似．

如图，如果，则

．

判定定理 3：

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

个三角形相似．如图，如果

，，则

．

【题型 1 相似三角形的判定（判定定理 1）】

【例 1】（ 2021• 越秀区校级二模）如图，在△ABC 中，四边形 DBFE 是平行四边形．求证：

△ADE∽△EFC．

【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似．

【解答过程】证明：∵四边形 DBFE 是平行四边形，

∴DE∥BC，EF∥AB，

∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，

∴△ADE∽△EFC．

【变式 1-1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△PAB 中，点 C、D在AB 上，PC＝PD＝CD，∠A＝

∠BPD，求证：△APC∽△PBD．

【解题思路】根据等腰三角形的性质得出∠ PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝

∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．

【解答过程】证明：∵PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC，

∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，

又∵∠A＝∠BPD，

∴∠B＝∠APC，

∴△APC∽△PBD．

【变式 1-2】（2020 秋•宁德期末）如图，在矩形 ABCD 中，点 E是BC 边上的点，AC⊥DE，垂足为 F．求

证：△ABC∽△ECD．

【解题思路】利用“两角法”证得结论．

【解答过程】证明：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠B＝∠BCD＝90°．

∴∠ACB+∠ACD＝90°．

又∵AC⊥DE，

∴∠CDE+∠ACD＝90°．

∴∠ACB＝∠CDE．

∴△ABC∽△ECD．

【变式 1-3】（2020 秋•淮安期末）如图，在矩形 ABCD 中，E为AD 上一点，EF⊥EC 交AB 于F，连接

FC，求证：△AEF∽△DCE．

【解题思路】用∠FEC＝90°，可得到△AEF 和△DCE 一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似．

【解答过程】证明：∵∠FEC＝90°，

∴∠AEF+∠DEC＝90°，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，

∴∠AFE+∠AEF＝90°，

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