专题22.3 二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.3 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数 y=ax2(a≠0) 的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、

开口方向等概念；

3．掌握二次函数 y=ax2(a≠0) 的图象的性质。

【要点梳理】

要点一、二次函数 y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数 y=ax2（a≠0）的图象，

如图，它是一条关于 y 轴对称的曲线，这样的曲线

叫做抛物线.

因为抛物线 y=x2关于 y 轴对称，所以 y 轴是这

条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物

线的顶点，从图上看，抛物线 y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线 y=x2有最低点，所

以函数 y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数 y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变

量 x 的值，然后计算出对应的 y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.

特别说明：二次函数 y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数 y=ax2(a≠0)的图象，该图

象是轴对称图形，对称轴是 y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把 y=ax2(a≠0)的图

象左右、上下平行移动可以得到 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与

轴的交点，

5）与

轴的交点.

3.二次函数 y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数 y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

特别说明：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数

相同，那么抛物线的

开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形

状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，°图象两边越靠近

x 轴.

【典型例题】

类型一、

1．．画函数的图象．

【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．

解：列表：

描点、连线如下图所示：

函数　图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）

值

y=ax2a>0 向上（0，0） y 轴　　x>0 时，y 随

x 增大而增大；

　　x<0 时，y 随

x 增大而减小.

　当 x=0

时，y 最小=0

y=ax2a<0 向下（0，0） y 轴　　x>0 时，y 随

x 增大而减小；

　　x<0 时，y 随

x 增大而增大.

　当 x=0

时，y 最大=0

【点拨】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及

函数图象的作法是解题的关键．

举一反三：

【变式 1】画出二次函数 y＝x2的图象．

【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．

解：函数 y＝x2的图象如图所示：

【点拨】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵

活运用．

【变式 2】画出二次函数 y= x﹣2的图象．

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