专题22.1 二次函数概念（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版） (1)

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专题 22.1 二次函数概念（知识讲解）
【学习目标】
1、理解二次函数的概念；
2、能用待定系数法确定二次函数的解析式；
3、根据二次函数概念求参数。
【要点梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数.
若 b=0，则 y=ax2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而 y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　① （a≠0）；② （a≠0）；③ （a≠0）；④
（a≠0），其中 ；⑤
（a≠0）.特别说明：如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数．
这里，当 a=0 时就不是二次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的
绝对值越大，抛物线的开口越小.
2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
2
y ax bx c  
（
a
，
b
，
c
为常数，
0a
）；
2. 顶点式：
2
( )y a x h k  
（
a
，
h
，
k
为常数，
0a
）；
3. 两根式：
1 2
( )( )y a x x x x 
（
0a
，
1
x
，
2
x
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）（或
称交点式）.
特别说明：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都
可以写成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
时，抛物线的解析式才
可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
【典型例题】
类型一、列二次函数解析式
1． 如图 2所示，有一根长 60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积 S(cm2)
与它的一边长 x(cm)之间的函数关系式．
【答案】S＝- x2＋30x（0＜x＜30）
【分析】由铁丝的长是 60cm，一边长 xcm，可知另一边长是（30-x）cm，然后根据长方形
的面积公式即可求出矩形面积 S(cm2)与它的一边长 x(cm)之间的函数关系式．
解：∵铁丝的长是 60cm，一边长 xcm，
∴另一边长是（30-x）cm，
∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.
【点拨】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错
点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．
举一反三：
【变式 1】 王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为 20 元每千克．市场调查发现,该产
品每天的销售量
w
(千克)与销售价
x
(元/千克)有如下关系:
w=−2x+60
．若这种产品每天的
销售利润为
y
(元).求
y
与
x
之间的函数关系式．
【答案】
y=−2x2+100 x−1200
【分析】利用单价利润
×
总销售量=总利润.
解：
y=
(
x−20
)
w=
(
x−20
) (
−2x+60
)
=−2x2+100 x−1200
.
∴y=−2x2+100 x−1200
.
【变式 2】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建
一条矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图）．若
设绿化带 BC 边长为 xm，绿化带的面积为 ym2 ， 求 y与x之间的函数关系式，并写出自
变量 x的取值范围．
【答案】y=﹣x2+20x，自变量 x的取值范围是 0＜x≤25．
【详解】试题分析：由矩形的性质结合BC 的长度可得出 AB 的长度，再根据矩形的面积公
式即可找出y与x之间的函数关系式.
解 ：∵四边形 ABCD 为矩形，BC=x
AB=∴．
根据题意得： ，因为墙长 25 米，所
以 ．
类型二、二次函数的判断
2．已知函数 y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k为常数）．
（1）若这个函数是一次函数，求 k的值；
（2）若这个函数是二次函数，则 k的值满足什么条件？
【答案】（1）k＝1；（2）k≠0 且k≠1
【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；（2）由二次函数的定义求解可得．
解：（1）若这个函数是一次函数，
则k2﹣k＝0且k≠0，
解得 k＝1；
（2）若这个函数是二次函数，
则k2﹣k≠0，
解得 k≠0 且k≠1．
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．
举一反三：
【变式 1】 已知函数 y＝（m2﹣m）x2+mx 2﹣（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
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