专题22.1 二次函数的定义【七大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.1 二次函数的定义【七大题型】
【人教版】
【题型 1 二次函数的识别】................................................................................................................................................1
【题型 2 由二次函数的定义求字母的值】........................................................................................................................2
【题型 3 二次函数的一般形式】........................................................................................................................................2
【题型 4 判断二次函数的关系式】....................................................................................................................................3
【题型 5 列二次函数的关系式（增长率问题）】............................................................................................................4
【题型 6 列二次函数的关系式（销售问题）】................................................................................................................5
【题型 7 列二次函数的关系式（几何问题）】................................................................................................................6
【知识点 1 二次函数的概念】
一般地，形如 y=
a x2
+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中 x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=
a x2
+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型 1 二次函数的识别】
【例 1】（2022 秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（　　）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x32﹣x；
④y＝x2
−1
x+¿
3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式 1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣
2x；⑤y＝x2
−1
x+¿
3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 1-2】（2022 春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x24﹣x+3 ；②y＝4 3﹣x+7x2；③y
¿1
x2−¿
3x+5 ；④y＝ （ 2x3﹣） （ 3x2﹣） ； ⑤y＝
ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x22﹣x3﹣；⑦y＝m2x2+4x3﹣．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式 1-3】（2022 秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y
¿❑
√
x2+2
；②y＝﹣x23﹣x；③y＝x（x2+x+1）；④y
；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型 2 由二次函数的定义求字母的值】
【例 2】（2022 秋•天津期末）若 y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3 是关于 x的二次函数，则 a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【变式 2-1】（2022•武山县校级一模）若函数 y＝（m2+m）
xm2−2m−1
是二次函数，那么 m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．
−1±❑
√
2
【变式 2-2】（2022 秋•莱芜区期中）若抛物线
y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3
是关于 x的二次函数，那么 m
的值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【变式 2-3】函数 y＝（a5﹣）
xa2+4a+5+¿
2x1﹣，当 a＝　 　时，它是一次函数；当 a＝　 　时，它是二
次函数．
【题型 3 二次函数的一般形式】
【例 3】（2022 秋•遂溪县校级期中）关于函数 y＝（500 10﹣x）（40+x），下列说法不正确的是（　　）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是 100 D．常数项是 20000
【变式 3-1】（2022 秋•新昌县期末）若二次函数 y＝（2x1﹣）2+1 的二次项系数为 a，一次项系数为 b，常
数项为 c，则 b24﹣ac　 　0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【变式 3-2】已知 y＝（m2﹣m）x
❑m2−2m−1+¿
（m3﹣）x+m2是关于 x的二次函数，求出它的解析式，并写
出其二次项系数、一次项系数及常数项．
【变式 3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常
数项：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y
¿1
2
（x1﹣）2
−5
2
；
（5）y
¿8
3x2
；
（6）y＝x2（x1﹣）﹣1．
【题型 4 判断二次函数的关系式】
【例 4】（2021 秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（　　）
A．正方形的周长 y与边长 x
B．速度一定时，路程 s与时间 t
C．正方形的面积 y与边长 x
D．三角形的高一定时，面积 y与底边长 x
【变式 4-1】（2022 秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（　　）
A．当距离 S一定时，汽车行驶的时间 t与速度 v之间的关系
B．在弹性限度时，弹簧的长度 y与所挂物体的质量 x之间的关系
C．圆的面积 S与圆的半径 r之间的关系
D．正方形的周长 C与边长 a之间的关系
【变式 4-2】（2022 秋•沂源县期中）在下列 4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数
关系的有（　　）
①设正方形的边长为 x面积为 y，则 y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数 y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y与x有函数关系；
④若一辆汽车以 120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程 y（km）与行驶时间 x（h）有函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式 4-3】（2022 秋•海淀区校级月考）边长为 5的正方形 ABCD，点 F是BC 上一动点，过对角线交点 E
作EG⊥EF，交 CD 于点 G，设 BF 的长为 x，△EFG 的面积为 y，则 y与x满足的函数关系是（　　）
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