专题22.1 二次函数的定义【七大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 22.1 二次函数的定义【七大题型】
【人教版】
【题型 1 二次函数的识别】................................................................................................................................................1
【题型 2 由二次函数的定义求字母的值】........................................................................................................................3
【题型 3 二次函数的一般形式】........................................................................................................................................4
【题型 4 判断二次函数的关系式】....................................................................................................................................5
【题型 5 列二次函数的关系式（增长率问题）】............................................................................................................8
【题型 6 列二次函数的关系式（销售问题）】................................................................................................................9
【题型 7 列二次函数的关系式（几何问题）】..............................................................................................................11
【知识点 1 二次函数的概念】
一般地，形如 y=
a x2
+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中 x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=
a x2
+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【题型 1 二次函数的识别】
【例 1】（2022 秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（　　）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x32﹣x；
④y＝x2
−1
x+¿
3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意；
②该函数是二次函数，故本选项符合题意；
③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式 1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣
2x；⑤y＝x2
−1
x+¿
3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数的定义，判断即可．
【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x32﹣x；⑤y＝x2
−1
x+¿
3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x，
所以，共有 3个，
故选：B．
【变式 1-2】（2022 春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x24﹣x+3 ；②y＝4 3﹣x+7x2；③y
¿1
x2−¿
3x+5 ；④y＝ （ 2x3﹣） （ 3x2﹣） ； ⑤y＝
ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x22﹣x3﹣；⑦y＝m2x2+4x3﹣．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：①y2＝2x24﹣x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4 3﹣x+7x2，是二次函数；
③y
3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x3﹣）（3x2﹣）＝6x213﹣x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，这里 a可能等于 0，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x22﹣x3﹣，是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x3﹣，m可能等于 0，不一定是二次函数．
∴只有②④⑥一定是二次函数．
故选：C．
【变式 1-3】（2022 秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y
¿❑
√
x2+2
；②y＝﹣x23﹣x；③y＝x（x2+x+1）；④y
¿1
1+x2
；⑤y＝﹣x+x2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：②y＝﹣x23﹣x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数，
故选：B．
【题型 2 由二次函数的定义求字母的值】
【例 2】（2022 秋•天津期末）若 y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3 是关于 x的二次函数，则 a的值是（　　）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函数 y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3 是关于 x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得 a＝﹣5，
故选：B．
【变式 2-1】（2022•武山县校级一模）若函数 y＝（m2+m）
xm2−2m−1
是二次函数，那么 m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．
−1±❑
√
2
【分析】让 x的次数为 2，系数不为 0即可．
【解答】解：根据题意得：
{
m2−2m−1=2
m2+m≠ 0
，
解得：
{
m=3或−1
m≠ 0且m≠−1
，
∴m＝3，
故选：C．
【变式 2-2】（2022 秋•莱芜区期中）若抛物线
y=(m−3)xm2−5m+8+2x−3
是关于 x的二次函数，那么 m
的值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【分析】根据二次函数的最高指数是 2，二次项系数不等于 0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m25﹣m+8＝2且m3≠0﹣，
解得 m1＝2，m2＝3，且 m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
【变式 2-3】函数 y＝（a5﹣）
xa2+4a+5+¿
2x1﹣，当 a＝　 　时，它是一次函数；当 a＝　 　时，它是二
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