专题22.1 成比例线段-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 22.1 成比例线段-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 成比例线段的概念】
1．比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为 a，c的比例中项，满足 ．
2．成比例线段：
四条线段 a，b，c，d中，如果 a和b的比等于 c和d的比，即 ，那么这四条线段 a，b，c，d
叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型 1 成比例线段的概念】
【例 1】（2020•浉河区校级一模）已知四条线段 a，2，6，a+1 成比例，则 a的值为　 　．
【变式 1-1】（2020 秋•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20
【变式 1-2】若 a：b＝c：d，则下列各式成立的是（　　）
A．a：d＝c：bB．b：d＝c：a
C．
a+b
b=c−d
d
D．
a
b=a+c
b+d
（ b+d≠0）
【变式 1-3】已知线段 a、b、c满足 a：b：c＝3：2：6，且 a+2b+c＝26．
（1）求 a、b、c的值；
（2）若线段 x是线段 a、b的比例中项，求 x的值．
【题型 2 成比例线段概念的应用】
【例 2】（2021 春•江阴市期中）在比例尺为 1：30000 的地图上，量得 A、B两地的图上距离 AB＝5cm，
则A、B两地的实际距离为　 　km．
【变式 2-1】（2020 秋•高邮市期末）若三条线段 a、b、c的长满足
a
b=b
c=❑
√
5+1
2
，则将这三条线段首尾
顺次相连（　　）
A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形
C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形
【变式 2-2】（2020 秋•渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为 0的数，且
a
b=c
d
，求证：
a+b
b=c+d
d
．
证明：∵
a
b=c
d
，
∴
1
¿c
d+¿
1．
∴
a+b
b=c+d
d
．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若
a
b=3
5
，求
a+b
b
的值；
（2）若
a
b=c
d
，且 a≠b，c≠d，证明
a−b
a+b=c−d
c+d
．
【变式 2-3】阅读理解，并解决问题：
小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为 0的数 a，b，c，d，使得分式
a
b=c
d
成立（即
a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若
a
b=c
d
，则
a−b
b=c−d
d
．
已知①
a
c=b
d
；②
b
a=d
c
问题解决：
（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；
（2）证明（1）中的分比性质等式成立
【知识点 2 比例的性质】
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
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