专题21.17 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 21.17 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识要点】
要点一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方
程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次
方程的根.
特别说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一
元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①
一个未知数；②未知数的最高次数为 2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数
不为 0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程

降次
一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
特别说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法
和因式分解
　 法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一 元 二 次 方 程
)0(0
2acbxax
中 ，
acb 4
2
叫 做 一 元 二 次 方 程
)0(0
2acbxax
的根的判别式，通常用“
”来表示，即
acb 4
2
（1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；
（2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；
（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
)0(0
2acbxax
的两个实数根是
21 xx ，
，
那么
a
b
xx 21
，
.
注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.
特别说明：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决
以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
要点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
特别说明：
　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解
决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1、若 是一元二次方程 的根，求 的值．
【答案】
【分析】依题意， 是方程 的根，则可得 ，然后对 进行
整体代入代数式中求解即可．
解：由题可得： 是方程 的根，
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