专题21.13 实际问题与一元二次方程（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 21.13 实际问题与一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实

际问题的一般步骤；

2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

　　　答(写出答案，切忌答非所问).

特别说明：

列方程解实际问题的三个重要环节：

　　　一是整体地、系统地审题；

　　　二是把握问题中的等量关系；

　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.

要点二、一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、

十位、百位、

　　　千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数

位上的数字

只能是 0、1、2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多

位数，都可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表

示了一个多位

数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数

可表示为：

　　　　　 100c+10b+a.

　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差 1.

　　　如：三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1.

　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 2.

　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-2，x+2.

2.平均变化率问题

　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，

以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数

的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

　　平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为

增长后的量.)

(2)降低率问题：

　　平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为

降低后的量.)

3.利润(销售)问题

　　利润(销售)问题中常用的等量关系：

　　利润=售价-进价(成本)

　　总利润=每件的利润×总件数

4.形积问题

　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规

则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

特别说明：

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的

解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】

类型一、传播问题

1．一、解答题

1．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染

后共有169 人患病（假设每轮每人传染的人数相同），求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有

多少人患病？

【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了12 个人．（2）按照这样的传染速度，第三轮

传染后，共有2197 人患病．

【分析】

（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，

经过两轮传染后共有169 人患病”，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可

得出结论；

（2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数×（1+12），即可求出

结论．

解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，

依题意，得：1+x+x（x+1）＝169，

解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均每个人传染了12 个人．

（2）169×（1+12）＝2197（人）．

答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197 人患病．

【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键．

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