专题21.12 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.12 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【沪科版】
考卷信息：
本套训练卷共 30 题，选择 10 题，填空 10 题，解答 10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
1．（2021•雅安）定义：min{a，b}
¿
{
a(a ≤ b)
b(a＞b)
，若函数 y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为
（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数 y＝ax2+（b+1）x+b2﹣（a≠0），若存在自变量 x0，使得函数
值等于 x0成立，则称 x0为该函数的不动点，对于任意实数 b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数 a
的取值范围为（　　）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如
图，在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），则互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m与正方形
OABC 有交点时 m的最大值和最小值分别是（　　）
A．4，﹣1 B．
5−❑
√
17
2
，﹣1 C．4，0 D．
5+❑
√
17
2
，﹣1
4．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数 y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m1﹣，m+1，﹣
2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（　　）
A．当 m＝2时，函数图象的顶点坐标为（
−3
2，−25
4
）
B．当 m＞1时，函数图象截 x轴所得的线段长大于 3
C．当 m＜0时，函数在 x
＜1
2
时，y随x的增大而增大
D．不论 m取何值，函数图象经过两个定点
5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数 M，对于任意的函数值 y，都满足
y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的 M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，
函数 y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是 2，如果函数 y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜
n）的上确界是 n，且这个函数的最小值不超过 2m，则 m的取值范围是（　　）
A．m
≤1
3
B．m
C．
1
3＜m≤ 1
2
D．m
≤1
2
6．（2020 秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量 x取a时，其函数值 y也等于 a，我们称 a为这个
函数的不动点，若二次函数 y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于 1的不动点，则 c的取值范
围是（　　）
A．c＜﹣3 B．c
＞−1
4
C．﹣3＜c＜﹣2 D．﹣2
＜c＜1
4
7．（2020 秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点 P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标
轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点 P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已
知点 P是抛物线 y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为 16，则 k的值可以是（　　）
A．16 B．4 C．﹣12 D．﹣18
8．（2021•河南模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，
如：y＝x22﹣x+3 的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与
x轴只有一个交点，则 m的值为（　　）
A．﹣2 B．
1
4
C．﹣2或2 D．2
9．（2021 春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点 A满足横、纵坐标都为整数，则把点 A
叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线 y＝ax22﹣ax+a+2（a＜0）与 x轴
交于点 M，N两点，若该抛物线在 M、N之间的部分与线段 MN 所围的区域（包括边界）恰有 5个整点，
则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a
＜−1
2
D．﹣2≤a＜0
10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如 y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b24﹣ac＞0）的函数叫做“鹊
桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 y＝|x22﹣x3|﹣的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线 x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或x≥3 时，函数值 y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是 0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是 4，
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2021•东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“ ”定义一种运算，对任意实数❤m、n和抛物
线y＝ax2，当 y＝ax2❤（m，n）后都可得到 y＝a（x﹣m）2+n．当 y＝x2❤（m，n）后得到了新函数
的图象（如图所示），则 nm＝　 　．
12．（2021•天宁区校级模拟）若定义一种新运算：a⊗b
¿
{
ab(a≥ 3b)
2a−b−2(a＜3b)
，例如：4⊗1＝4×1＝4；
5⊗4＝10 4 2﹣ ﹣ ＝4．则函数 y＝（﹣x+3）⊗（x+1）的最大值是　 　．
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