专题21.12 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.12 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道）
【沪科版】
考卷信息：
本套训练卷共 30 题，选择 10 题，填空 10 题，解答 10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学
生对新定义函数的理解！
1．（2021•雅安）定义：min{a，b}
¿
{
a(a ≤ b)
b(a＞b)
，若函数 y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为
（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答过程】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得 x＝﹣1或x＝2．
∴y
¿
{
x+1(−1≤ x ≤ 2)
−x2+2x+3(x＜−1或x＞2)
，
把x＝2代入 y＝x+1 得y＝3，
∴函数最大值为 y＝3．
故选：C．
2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数 y＝ax2+（b+1）x+b2﹣（a≠0），若存在自变量 x0，使得函数
值等于 x0成立，则称 x0为该函数的不动点，对于任意实数 b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数 a
的取值范围为（　　）
A．0＜a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2＜a＜0 D．﹣2≤a＜0
【解题思路】设 x为不动点，使 y＝x，可得关系式 ax2+bx+b2﹣＝0，由恒有两个相异的不动点知 Δ＞
0，即得 a的取值范围．
【解答过程】由题意可知方程 x＝ax2+（b+1）x+b2﹣（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b24﹣a（b2﹣）＝b24﹣ab+8a＞0，对任意实数 b恒成立，
把b24﹣ab+8a看作关于 b的二次函数，
则有△1＝（4a）24×8﹣a＝16a232﹣a＝16a（a2﹣）＜0，令 16a（a2﹣）＝0，
解得 a＝0或a＝2，
①当a≥2 时，16a＞0，a2≥0﹣，即 16a（a2﹣）≥0，
②当a≤0 时，16a≤0，a2﹣＜0，即 16a（a2﹣）≥0，
③0＜a＜2时，16a＞0，a2﹣＜0，即 16a（a2﹣）＜0，
即16a（a2﹣）＜0的解集，
解得 0＜a＜2，
故选：A．
3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如
图，在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），则互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m与正方形
OABC 有交点时 m的最大值和最小值分别是（　　）
A．4，﹣1 B．
5−❑
√
17
2
，﹣1 C．4，0 D．
5+❑
√
17
2
，﹣1
【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过
点A，再逐渐经过点 O，点 B，点 C，最后再经过点 B，且在运动的过程中，两次经过点 A，两次经过点
O，点 B和点 C，只需算出当函数经过点 A及点 B时m的值，即可求出 m的最大值及最小值．
【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线 y＝
﹣x上运动，
在正方形 OABC 中，点 A（0，2），点 C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点 A，再逐渐经过点
O，点 B，点 C，最后再经过点 B，且在运动的过程中，两次经过点 A，两次经过点 O，点 B和点 C，
∴只需算出当函数经过点 A及点 B时m的值，即可求出 m的最大值及最小值．
当互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m经过点 A（0，2）时，m＝2，或 m＝﹣1；
当互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m经过点 B（2，2）时，m
¿5−❑
√
17
2
或m
．
∴互异二次函数 y＝（x﹣m）2﹣m与正方形 OABC 有交点时 m的最大值和最小值分别是
5+❑
√
17
2
，﹣
1．
故选：D．
4．（2020•宁乡市一模）定义[a，b，c]为函数 y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m1﹣，m+1，﹣
2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（　　）
A．当 m＝2时，函数图象的顶点坐标为（
−3
2，−25
4
）
B．当 m＞1时，函数图象截 x轴所得的线段长大于 3
C．当 m＜0时，函数在 x
＜1
2
时，y随x的增大而增大
D．不论 m取何值，函数图象经过两个定点
【解题思路】A、把 m＝2代入[m1﹣，1+m，﹣2m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式
解答即可；
B、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
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