专题21.11 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 21.11 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）

【知识回顾】

1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程

)0(0

2 acbxax

中，

acb 4

2

叫做一元二次方程

)0(0

2 acbxax

的根的判别式，通常用“



”来表示，即

acb 4

2

（1）当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；

（2）当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；

（3）当△<0 时，一元二次方程没有实数根.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用

在方程

 

2 acbxax

中，

（1）方程有两个不相等的实数根



acb 4

2

﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根



acb 4

2

=0；

（3）方程没有实数根



acb 4

2

﹤0.

【学习目标】

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系

数的取值范围；

2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程

)0(0

2 acbxax

的两个实数根是

21 xx ，

，

那么

xx  21

，

xx 

注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数

除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个

根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及

代数式的一些重要变形；如：

①

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 2x x x x x x   

；

②

1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



  

；

③

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( )x x x x x x x x  

；

④

2 2

2 1 1 2

1 2 1 2

x x x x



 

1 2 1 2

1 2

( ) 2x x x x

x x

 



；

⑤

2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x   

；

⑥

1 2

( )( )x k x k 

1 2 1 2

( )x x k x x k   

；

⑦

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | ( ) ( ) 4x x x x x x x x     

；

⑧

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 21 1

( )

x x x x x x

  

  

；

⑨

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x x x       

；

⑩

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | | | (| | | |) +2 | |x x x x x x x x     

1 2 1 2 1 2

( ) 2 2 | |x x x x x x    

．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是 .

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程

20( 0)ax bx c a   

的两根为

、

，则

①当△≥0 且

1 2 0x x 

时，两根同号．

当△≥0 且

1 2 0x x 

，

1 2 0x x 

时，两根同为正数；

当△≥0 且

1 2 0x x 

，

1 2 0x x 

时，两根同为负数．

②当△＞0 且

1 2 0x x 

时，两根异号．

当△＞0 且

1 2 0x x 

，

1 2 0x x 

时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0 且

1 2 0x x 

，

1 2 0x x 

时，两根异号且负根的绝对值较大．

特别说明：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的



．一些

考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根

a b

，则必有一根

a b

（

，

为有理数）．

　【典型例题】

类型一、根的判断别式

1．不解方程，判断方程根的情况：

（1）4y（4y 6﹣）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．

【答案】（1）方程 4y（4y 6﹣）+9=0 有两个相等的实数根；（2）方程 2y2+5y+6=0 没有实

数根；（3）方程 2x2=3x+1 有两个不相等的实数根．

【分析】先把（1）和（3）整理成一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），然后根

据∆=b24﹣ac 求出的值，再根据根的判别式与根的关系判断即可∆.

解：（1）16y224y+9=0﹣，

△=b24ac=﹣（﹣24）24×16×9=576 576=0﹣ ﹣ ，

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