专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型

【沪科版】

【题型 1 二次函数中直角三角形存在性问题】

【例 1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，

点P是抛物线上一动点，连接 PB，PC．

（1）点 A的坐标为　　，点 B的坐标为　　；

（2）如图 1，当点 P在直线 BC 上方时，过点 P作PD 上x轴于点 D，交直线 BC 于点 E．若 PE＝2ED，

求△PBC 的面积；

（3）抛物线上存在一点 P，使△PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P的坐标．

【变式 1-1】（2021 春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与x

轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y轴交于点 C（0，3），连接 AC，点 P为第二象限抛物线上

的动点．

（1）求 a、b、c的值；

（2）连接 PA、PC、AC，求△PAC 面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得△QAC 为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件

的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式 1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于 A、B两点，与 y轴相交于点 C，

且点 B与点 C的坐标分别为 B（3，0）．C（0，3），点 M是抛物线的顶点．点 P为线段 MB 上一个动

点，过点 P作PD⊥x轴于点 D，若 OD＝m．

（1）求二次函数解析式；

（2）设△PCD 的面积为 S，试判断 S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；

（3）在 MB 上是否存在点 P，使△PCD 为直角三角形？若存在，请写出点 P的坐标；若不存在，请说

明理由．

【变式 1-3】（2021•长沙模拟）如图，抛物线 y＝ax2+bx 过A（4，0），B（1，3）两点，点 C、B关于抛

物线的对称轴对称，过点 B作直线 BH⊥x轴，交 x轴于点 H．

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