专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

3.0 envi 2025-05-05 12 4 1.1MB 73 页 3知币
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专题 21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型
【沪科版】
【题型 1 二次函数中直角三角形存在性问题】
【例 1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，
点P是抛物线上一动点，连接 PB，PC．
（1）点 A的坐标为 　（﹣ 1 ， 0 ）　 ，点 B的坐标为 　（ 3 ， 0 ）　 ；
（2）如图 1，当点 P在直线 BC 上方时，过点 P作PD 上x轴于点 D，交直线 BC 于点 E．若 PE＝2ED，
求△PBC 的面积；
（3）抛物线上存在一点 P，使△PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P的坐标．
【解题思路】（1）根据抛物线解析式令 y＝0求出 A，B的坐标即可；
（2）先求得点 C的坐标，再用待定系数法求得直线 BC 的解析式；由 PE＝2ED 可得 PD＝3ED，设
P（m，﹣m2+2m+3），则 E（m，﹣m+3），用含 m的式子表示出 PD 和DE，根据 PD＝3ED 得出关于
m的方程，解得 m的值，则可得 PE 的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点 C作直线 P1C⊥BC，交抛物线于点
P1，连接 P1B，交 x轴于点 D；过点 B作直线 BP2⊥BC，交抛物线于点 P2，交 y轴于点 E，连接 P2C，分
别求得直线 P1C和直线 BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，分别解方程组，即可求得点
P的坐标．
【解答过程】解：（1）令抛物线 y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）在 y＝﹣x2+2x+3 中，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，得：
{
b=3
3k+b=0
，
解得
{
k=−1
b=3
，
∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则 PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD⊥x轴于点 D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m25﹣m+6＝0，
解得 m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，
此时 P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC
¿1
2
PE•OB
¿1
2×
2×3＝3．
∴△PBC 的面积为 3；
（3）∵△PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：
①点C为直角顶点，如图，过点 C作直线 P1C⊥BC，交抛物线于点 P1，连接 P1B，交 x轴于点 D，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线 P1C的解析式为 y＝x+3，
联立
{
y=−x2+2x+3
y=x+3
，
解得
或
{
x=0
y=3
（舍）；
∴P1（1，4）；
②点B为直角顶点，
如图，过点 B作直线 BP2⊥BC，交抛物线于点 P2，交 y轴于点 E，连接 P2C，
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
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