专题21.7 二次函数的应用-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.7 二次函数的应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【题型 1 利用二次函数解决几何图形问题】
【例 1】（2020 春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由 4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现
在制作一个窗户边框的材料总长度为 6米．（ π取3）
（1）若设扇形半径为 x，请用含 x的代数式表示出 AB．并求出 x的取值范围．
（2）当 x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
【解题思路】（1）根据 2AB+7 半径+弧长＝6列出代数式即可；
（2）设面积为 S，列出关于 x的二次函数求得最大值即可．
【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，
整理得：AB＝3 5﹣x；
根据 3 5﹣x＞0，
所以 x的取值范围是：0＜x
＜3
5
；
（2）设面积为 S，则 S＝2x（3 5﹣x）
+3
2
x2
¿−17
2
x2+6x
¿−17
2
（x
−6
17
）2
+18
17
，
当x
时，S最大
¿18
17
．
【变式 1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地 ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商
准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地
用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．
（1）设矩形观赏鱼用地 LJHF 的面积为 ym2，AG 长为 xm，求 y与x之间的函数关系式；
（2）求矩形观赏鱼用地 LJHF 面积的最大值．
【解题思路】（1）根据矩形的性质得到 CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形 AEFG 和正方形
JKCI 形状大小相同，矩形 GHID 和矩形 EBKL 形状大小相同，得到 DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝
2x12﹣，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16 2﹣x，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答过程】解：（1）在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，
∵正方形 AEFG 和正方形 JKCI 形状大小相同，矩形 GHID 和矩形 EBKL 形状形状大小相同，AG＝x，
∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x12﹣，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16 2﹣x，
∵S矩形 LJHF＝FL•LJ，
∴y＝（2x12﹣）（16 2﹣x）＝﹣4x2+56x192﹣；
（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x192﹣＝﹣4（x7﹣）2+4，
∵FL＝2x12﹣＞0，LJ＝16 2﹣x＞0，
∴6＜x＜8，
∵a＝﹣4＜0，
∴当 x＝7时，y的最大值＝4；
故矩形观赏鱼用地 LJHF 面积的最大值为 4m2．
【变式 1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足
够长），用 28m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB＝xm，花园的面
积为 Sm2．
（1）若花园的面积为 192m2，求 x的值；
（2）写出花园面积 S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积 S有最大值？最大值为多少？
（3）若在 P处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 a（14≤a≤22）和 6m，要将这棵树围在花园内（含
边界，不考虑树的粗细），设花园面积 S的最大值为 y，直接写出 y与a的关系式．
【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x14﹣）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；
（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．
【解答过程】解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x），
当S＝192 时，有 S＝x（28﹣x）＝192，
即x228﹣x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：花园的面积为 192m2，x的值为 12m或16m；
（2）由题意可得出：
S＝x（28﹣x）
＝﹣x2+28x
＝﹣（x14﹣）2+196，
答：x为14m时，花园面积 S有最大值，最大值为 196m2；
（3）依题意得：
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