专题21.6 二次函数与一元二次方程-重难点题型（举一反三）（沪科版）（原卷版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.6 二次函数与一元二次方程-重难点题型
【沪科版】
【知识点 1 二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与 x 轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0
抛 物 线 与 x
轴 交 于 ， 两
点，且 ，
此时称抛物线与 x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛 物 线 与 x
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与 x 轴相切
一元二次方程
有 两 个 相 等 的 实 数 根
△＜0
抛 物 线 与 x
轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
【题型 1 抛物线与 x轴的交点】
【例 1】（2021•海珠区一模）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于 x的一元二次方程
﹣x2+bx+c4﹣＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式 1-1】（2020 秋•路南区期末）小明在解二次函数 y＝ax2+bx+c时，只抄对了 a＝1，b＝4，求得图象
过点（﹣1，0）．他核对时，发现所抄的 c比原来的 c值大 2，则抛物线与 x轴交点的情况是（　　）
A．只有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．不确定
【变式 1-2】（2021•铜仁市）已知抛物线 y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点 A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线 y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则 m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【变式 1-3】（2020 秋•长春期末）在平面直角坐标系中，若函数 y＝（k2﹣）x22﹣kx+k的图象与坐标轴共
有三个交点，则下列各数中可能的 k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【题型 2 抛物线与 x轴交点上的四点问题】
【例 2】（2021•碑林区校级模拟）已知抛物线 y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与 x轴交于
（m，0），（n，0）两点（m＜n），则 m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n
【变式 2-1】（2021•上城区二模）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）与 x轴正半轴交于 A（p，0）和
B（q，0）两点（点 A在点 B的左边），方程 x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为 x＝m或x＝n（m＜n），则
p，q，m，n的大小关系可能是（　　）
A．p＜q＜m＜nB．m＜n＜p＜qC．m＜p＜q＜nD．p＜m＜n＜q
【变式 2-2】（2021•娄底模拟）对于一个函数，自变量 x取c时，函数值为 0，则称 c为这个函数的零点．
若关于 x的二次函数 y＝x26﹣x+m（m≠0）有两个不相等的零点 x1，x2（x1＜x2），关于 x的方程﹣x2+6x
﹣m2﹣＝0有两个不相等的非零实数根 x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A．
0＜x1
x3
＜1
B．
x1
x3
＞1
C．
0＜x2
x4
＜1
D．
x2
x4
＞1
【变式 2-3】（2021•河南模拟）已知二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于 x
的方程 ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是 4．若关于 x的方程 ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜
m）也有两个整数根，则这两个整数根是（　　）
A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4
【题型 3 由二次函数解一元二次方程】
【例 3】（2021•花都区二模）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为 x＝1，与 x轴的一个交点
是（3，0），则方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　
　 ．
【变式 3-1 】 （ 2020 秋•南京期末）二次函数 y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且 m≠0 ）的图象过点
A（3，0），则方程 mx2+2mx+c＝0的根为　 　．
【变式 3-2】（2021•武汉模拟）抛物线 y＝ax2+bx+c经过 A（﹣1，3），B（2，3），则关于 x的一元二次
方程 a（x2﹣）23﹣＝2b﹣bx﹣c的解为　 　．
【变式 3-3】（2020 秋•上虞区期末）已知自变量为 x的二次函数 y＝（ax+m）（x
+3
m
）经过（t，3）、（t
4﹣，3）两点，若方程（ax+m）（x
）＝0的一个根为 x＝1，则其另一个根为　 　．
【知识点 2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与 y=h 的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型 4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例 4】（2020 秋•禅城区期末）如下表给出了二次函数 y＝x2+2x10﹣中x，y的一些对应值，则可以估计
一元二次方程 x2+2x10﹣＝0的一个近似解（精确到 0.1）为（　　）
x…2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y…﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
【变式 4-1】（2020 秋•长春期末）根据下列表格中的对应值，判断方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常
数）的根的个数是（　　）
x6.17 6.18 6.19 6.20
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